Matriz oblicua-hermitiana

matriz cuya transposición conjugada es su negativo (inverso aditivo)

Para matrices con antisimetría sobre el campo de números reales , consulte Matriz de simetría sesgada .

En álgebra lineal , se dice que una matriz cuadrada con entradas complejas es sesgada-hermitiana o antihermitiana si su transposición conjugada es la negativa de la matriz original. ^[1] Es decir, la matriz es sesgada-hermitiana si satisface la relación${\displaystyle A}$

${\displaystyle A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad A^{\mathsf {H}}=-A}$

donde denota la transpuesta conjugada de la matriz . En forma de componente, esto significa que${\displaystyle A^{\textsf {H}}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$

para todos los índices y , donde es el elemento en la -ésima fila y -ésima columna de , y la línea superior denota una conjugación compleja .${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$

Las matrices sesgadas-hermitianas pueden entenderse como las versiones complejas de las matrices sesgadas simétricas reales , o como la matriz análoga de los números puramente imaginarios. ^[2] El conjunto de todas las matrices sesgadas-hermitianas forma el álgebra de Lie , que corresponde al grupo de Lie U ( n ) . El concepto se puede generalizar para incluir transformaciones lineales de cualquier espacio vectorial complejo con una norma sesquilínea .${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle u(n)}$

Tenga en cuenta que el adjunto de un operador depende del producto escalar considerado en el complejo dimensional o espacio real . Si denota el producto escalar activado , entonces decir es adjunto sesgado significa que para todo lo que se tiene .${\displaystyle n}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle (\cdot \mid \cdot )}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{n}}$${\displaystyle (A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )}$

Los números imaginarios pueden considerarse como adjuntos sesgados (ya que son como matrices), mientras que los números reales corresponden a operadores autoadjuntos .${\displaystyle 1\times 1}$

Ejemplo

Por ejemplo, la siguiente matriz es sesgada-hermitiana

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-i&+2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}}$

porque

${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}}$

Propiedades

• Los valores propios de una matriz sesgada-hermitiana son todos puramente imaginarios (y posiblemente cero). Además, las matrices sesgadas-hermitianas son normales . Por tanto, son diagonalizables y sus vectores propios para valores propios distintos deben ser ortogonales. ^[3]
• Todas las entradas en la diagonal principal de una matriz sesgada-hermitiana deben ser puramente imaginarias ; es decir, en el eje imaginario (el número cero también se considera puramente imaginario). ^[4]
• Si y son sesgados-hermitianos, entonces son sesgados-hermitianos para todos los escalares reales y . ^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle aA+bB}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle A}$es sesgado-hermitiano si y solo si (o de manera equivalente, ) es hermitiano . ^[5]${\displaystyle iA}$${\displaystyle -iA}$
• ${\displaystyle A}$es sesgado-hermitiano si y solo si la parte real es sesgada-simétrica y la parte imaginaria es simétrica .${\displaystyle \Re {(A)}}$${\displaystyle \Im {(A)}}$
• Si es sesgado-hermitiano, entonces es hermitiano si es un entero par y sesgado-hermitiano si es un número entero impar.${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle A}$es sesgado-hermitiano si y solo si para todos los vectores .${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =-\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$
• Si es sesgado-hermitiano, entonces la matriz exponencial es unitaria .${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{A}}$
• El espacio de matrices sesgadas-hermitianas forma el álgebra de Lie del grupo de Lie .${\displaystyle u(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$

Descomposición en hermitiano y sesgado-hermitiano

• La suma de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es hermitiana.${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$
• La diferencia de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es sesgada-hermitiana. Esto implica que el conmutador de dos matrices hermitianas es sesgado-hermitiano.${\displaystyle \left(A-A^{\mathsf {H}}\right)}$
• Una matriz cuadrada arbitraria se puede escribir como la suma de una matriz hermitiana y una matriz sesgada-hermitiana :${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

  ${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)}$

Ver también

• Bivector (complejo)
• Matriz hermitiana
• Matriz normal
• Matriz simétrica sesgada
• Matriz unitaria

Notas

1. Horn y Johnson (1985) , §4.1.1; Meyer (2000) , §3.2
2. Horn y Johnson (1985) , §4.1.2
3. Horn y Johnson (1985) , §2.5.2, §2.5.4
4. Meyer (2000) , ejercicio 3.2.5
5. Horn y Johnson (1985) , §4.1.1

Referencias

• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Meyer, Carl D. (2000), Análisis de matrices y álgebra lineal aplicada , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.