Número triangular
Un número triangular o un número de triángulo cuenta los objetos dispuestos en un triángulo equilátero . Los números triangulares son un tipo de número figurado , otros ejemplos son los números cuadrados y los números cúbicos . El n- ésimo número triangular es el número de puntos en la disposición triangular con n puntos en cada lado, y es igual a la suma de los n números naturales del 1 al n . La secuencia de números triangulares, comenzando con el número triangular 0 , es
(Esta secuencia se incluye en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros (secuencia A000217 en la OEIS )).
La primera ecuación se puede ilustrar mediante una demostración visual . [1] Para cada número triangular , imagina una disposición de "medio cuadrado" de objetos correspondientes al número triangular, como en la figura siguiente. Copiar esta disposición y rotarla para crear una figura rectangular duplica la cantidad de objetos, produciendo un rectángulo con dimensiones , que también es la cantidad de objetos en el rectángulo. Claramente, el propio número triangular es siempre exactamente la mitad del número de objetos en una figura, o: . A continuación se muestra el ejemplo :
La primera ecuación también se puede establecer mediante inducción matemática : [2] Dado que es igual a uno, se establece un caso base. De la definición se deduce que , asumiendo la hipótesis inductiva para , sumar a ambos lados da inmediatamente
En otras palabras, dado que la proposición (es decir, la primera ecuación, o la hipótesis inductiva en sí) es verdadera cuando , y dado que ser verdadera implica que eso también es cierto, entonces la primera ecuación es verdadera para todos los números naturales. El argumento anterior se puede modificar fácilmente para comenzar con cero e incluirlo.
Se dice que el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss encontró esta relación en su juventud, al multiplicar n / 2 pares de números en la suma por los valores de cada par n + 1 . [3] Sin embargo, independientemente de la verdad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula, y algunos consideran probable que su origen se remonta a los pitagóricos en el siglo V a. C. [4] Las dos fórmulas fueron descritas por el monje irlandés Dicuil hacia 816 en su Computus . [5]
