En matemáticas , una prueba sin palabras es una prueba de una identidad o enunciado matemático que puede demostrarse como evidente por sí mismo mediante un diagrama sin ningún texto explicativo que lo acompañe. Tales pruebas pueden considerarse más elegantes que formales o matemáticamente rigurosas debido a su naturaleza evidente. [1] Cuando el diagrama demuestra un caso particular de un enunciado general, para ser una prueba, debe ser generalizable. [2]
Ejemplos de
Suma de números impares
La afirmación de que la suma de todos los números impares positivos hasta 2 n - 1 es un cuadrado perfecto —más específicamente, el cuadrado perfecto n 2 — se puede demostrar mediante una prueba sin palabras, como se muestra a la derecha. [3] El primer cuadrado está formado por 1 bloque; 1 es el primer cuadrado. La siguiente tira, hecha de cuadrados blancos, muestra cómo al agregar 3 bloques más se obtiene otro cuadrado: cuatro. La siguiente tira, hecha de cuadrados negros, muestra cómo agregar 5 bloques más forma el siguiente cuadrado. Este proceso se puede continuar indefinidamente.
Teorema de pitágoras
El teorema de Pitágoras se puede demostrar sin palabras, como se muestra en el segundo diagrama de la izquierda. Los dos métodos diferentes para determinar el área del cuadrado grande dan la relación
entre los lados. Esta prueba es más sutil que la anterior, pero aún puede considerarse una prueba sin palabras. [4]
La desigualdad de Jensen
La desigualdad de Jensen también se puede probar gráficamente, como se ilustra en el tercer diagrama. La curva discontinua a lo largo del eje X es la distribución hipotética de X , mientras que la curva discontinua a lo largo del eje Y es la distribución correspondiente de los valores de Y. Tenga en cuenta que el mapeo convexa Y ( X ) cada vez más "tramos" la distribución para valores crecientes de X . [5]
Uso
Mathematics Magazine y College Mathematics Journal publican un artículo regular titulado "Prueba sin palabras" que contiene, como sugiere el título, pruebas sin palabras. [3] Lossitios webThe Art of Problem Solving y USAMTS ejecutan subprogramas Java que ilustran pruebas sin palabras. [6] [7]
Ver también
Notas
- ^ Dunham 1994 , p. 120
- ^ Weisstein, Eric W. "Prueba sin palabras" . MathWorld . Consultado el 20 de junio de 2008.
- ↑ a b Dunham , 1994 , p. 121
- ^ Nelsen 1997 , p. 3
- ^ "Desigualdad de Jensen", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense, Sociedad Matemática Estadounidense, 43 (8), p. 527, 1937, doi : 10.1090 / S0002-9904-1937-06588-8
- ^ Gallery of Proofs , Art of Problem Solving , consultado el 28 de mayo de 2015
- ^ Gallery of Proofs , USA Mathematical Talent Search , consultado el 28 de mayo de 2015
Referencias
- Dunham, William (1994), El universo matemático , John Wiley and Sons, ISBN 0-471-53656-3
- Nelsen, Roger B. (1997), Pruebas sin palabras: Ejercicios de pensamiento visual , Asociación Matemática de América, p. 160, ISBN 978-0-88385-700-7
- Nelsen, Roger B. (2000), Pruebas sin palabras II: Más ejercicios de pensamiento visual , Asociación Matemática de América, págs.142 , ISBN 0-88385-721-9