En matemáticas , la ley de la tricotomía establece que todo número real es positivo, negativo o cero. [1]
De manera más general, una relación binaria R en un conjunto X es tricotómica si para todo x e y en X , se cumple exactamente uno de xRy , yRx y x = y . Escribiendo R como <, esto se establece en lógica formal como:
Propiedades
- Una relación es tricotómica si, y solo si, es asimétrica y está conectada .
- Si una relación tricotómica también es transitiva, entonces es un orden total estricto ; este es un caso especial de un orden estrictamente débil . [2] [3]
Ejemplos de
- En el conjunto X = { a , b , c }, la relación R = {( a , b ), ( a , c ), ( b , c )} es transitiva y tricotómica y, por tanto, un orden total estricto .
- En el mismo conjunto, la relación cíclica R = {( a , b ), ( b , c ), ( c , a )} es tricotómica, pero no transitiva; incluso es antitransitivo .
Tricotomía en números
Una ley de tricotomía en algún conjunto X de números generalmente expresa que alguna relación de ordenación dada tácitamente en X es tricotómica. Un ejemplo es la ley "para los números reales arbitrarios x y y , exactamente uno de x < y , Y < x , o x = y se aplica"; algunos autores incluso fijan y en cero, [1] basándose en la estructura de grupo ordenada linealmente aditiva del número real . Este último es un grupo equipado con un orden tricotómico.
En la lógica clásica, este axioma de tricotomía es válido para la comparación ordinaria entre números reales y, por lo tanto, también para las comparaciones entre números enteros y entre números racionales . [ aclaración necesaria ] La ley no se sostiene en general en la lógica intuicionista . [ cita requerida ]
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y la teoría de conjuntos de Bernays , la ley de la tricotomía se mantiene entre los números cardinales de conjuntos bien ordenables incluso sin el axioma de elección . Si se cumple el axioma de elección, entonces la tricotomía se cumple entre números cardinales arbitrarios (porque todos se pueden ordenar bien en ese caso). [4]
Ver también
- Begriffsschrift contiene una formulación temprana de la ley de la tricotomía
- Dicotomía
- Ley de no contradicción
- Ley del medio excluido
- Comparación de tres vías
Referencias
- ^ a b Ley de tricotomía en MathWorld
- ^ Jerrold E. Marsden y Michael J. Hoffman (1993) Elementary Classical Analysis , página 27, WH Freeman and Company ISBN 0-7167-2105-8
- ^ HS Bear (1997) Una introducción al análisis matemático , página 11, Academic PressISBN 0-12-083940-7
- ^ Bernays, Paul (1991). Teoría de conjuntos axiomáticos . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-66637-9.