Begriffsschrift

Libro de lógica

La portada de la edición original de 1879.

Begriffsschrift (en alemán, aproximadamente, "guión conceptual") es un libro sobre lógica de Gottlob Frege , publicado en 1879, y el sistema formal establecido en ese libro.

Begriffsschrift generalmente se traduce como escritura de conceptos o notación de conceptos ; el título completo del libro lo identifica como "un lenguaje de fórmulas , modelado en el de la aritmética , para el pensamiento puro ". La motivación de Frege para desarrollar su enfoque formal de la lógica se asemejaba a la motivación de Leibniz para su razonador de cálculo (a pesar de eso, en el prólogo Frege niega claramente que haya logrado este objetivo, y también que su objetivo principal sería construir un lenguaje ideal como el de Leibniz, que Frege declara ser una tarea bastante difícil e idealista, aunque no imposible). Frege pasó a emplear su cálculo lógico en su investigación sobre lafundamentos de las matemáticas , llevados a cabo durante el próximo cuarto de siglo.

La notación y el sistema

El cálculo contiene la primera aparición de variables cuantificadas y es esencialmente lógica clásica bivalente de segundo orden con identidad. Es bivalente en el sentido de que las oraciones o fórmulas denotan Verdadero o Falso; de segundo orden porque incluye variables de relación además de las variables de objeto y permite la cuantificación de ambas. El modificador "con identidad" especifica que el lenguaje incluye la relación de identidad, =.

Frege presenta su cálculo utilizando una notación bidimensional idiosincrásica : las conectivas y los cuantificadores se escriben utilizando líneas que conectan fórmulas, en lugar de los símbolos ¬, ∧ y ∀ que se utilizan en la actualidad. Por ejemplo, ese juicio B implica materialmente el juicio A , es decir, está escrito como .${\displaystyle B\rightarrow A}$

En el primer capítulo, Frege define las ideas básicas y la notación, como la proposición ("juicio"), el cuantificador universal ("la generalidad"), el condicional , la negación y el "signo de identidad de contenido" (que usó para indicar tanto equivalencia material e identidad propiamente dicha); en el segundo capítulo declara nueve proposiciones formalizadas como axiomas.${\displaystyle \equiv }$

Concepto basico	Notación de Frege	Notaciones modernas
Juzgando	${\displaystyle \vdash A,\Vdash A}$	${\displaystyle p(A)=1,}$ ${\displaystyle p(A)=i}$${\displaystyle \vdash A,\Vdash A}$
Negación		${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle {\sim }A}$
Condicional (implicación)		${\displaystyle B\rightarrow A}$ ${\displaystyle B\supset A}$
Cuantificación universal		${\displaystyle \forall x\,F(x)}$
Cuantificación existencial		${\displaystyle \exists x\,F(x)}$
Identidad de contenido (equivalencia / identidad)	${\displaystyle A\equiv B}$	${\displaystyle A\leftrightarrow B}$ ${\displaystyle A\equiv B}$ ${\displaystyle A=B}$

En el capítulo 1, §5, Frege define el condicional de la siguiente manera:

"Dejemos que A y B se refieran a contenidos juzgables, entonces las cuatro posibilidades son:

1. A se afirma, B se afirma;
2. A se afirma, B se niega;
3. A se niega, B se afirma;
4. A se niega, B se niega.

Dejar

significa que la tercera de esas posibilidades no se obtiene, pero una de las otras tres sí. Entonces, si negamos , eso significa que la tercera posibilidad es válida, es decir, negamos A y afirmamos B. "

El cálculo en el trabajo de Frege

Frege declaró que nueve de sus proposiciones eran axiomas y las justificó argumentando informalmente que, dados los significados previstos, expresan verdades evidentes por sí mismas. Reexpresados ​​en notación contemporánea, estos axiomas son:

1. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}$
2. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]}$
3. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]}$
4. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}$
5. ${\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}$
6. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f(c)=f(d)\right)}$
8. ${\displaystyle \vdash \ \ c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \ \ \forall a\ f(a)\rightarrow \ f(c)}$

Estas son las proposiciones 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 y 58 de la Begriffschrifft . (1) - (3) gobiernan la implicación material , (4) - (6) la negación , (7) y (8) la identidad y (9) el cuantificador universal . (7) expresa la indiscernibilidad de Leibniz de los idénticos , y (8) afirma que la identidad es una relación reflexiva .

Todas las demás proposiciones se deducen de (1) - (9) invocando cualquiera de las siguientes reglas de inferencia :

• Modus ponens nos permite inferir de y ;${\displaystyle \vdash B}$${\displaystyle \vdash A\to B}$${\displaystyle \vdash A}$
• La regla de generalización nos permite inferir de si x no se produce en P ;${\displaystyle \vdash P\to \forall xA(x)}$${\displaystyle \vdash P\to A(x)}$
• La regla de sustitución , que Frege no enuncia explícitamente. Esta regla es mucho más difícil de articular con precisión que las dos reglas anteriores, y Frege la invoca de formas que no son obviamente legítimas.

Los principales resultados de la tercera capítulo, titulada "Partes de una teoría series generales," preocupación lo que es ahora llamado el ancestral de una relación R . " a es un R -ancestro de b " se escribe " aR * b ".

Frege aplicó los resultados de la Begriffsschrifft , incluidos los sobre el ancestral de una relación, en su obra posterior The Foundations of Arithmetic . Por lo tanto, si tomamos xRy como la relación y = x + 1, entonces 0 R * y es el predicado " y es un número natural". (133) dice que si x , y y z son números naturales , entonces debe cumplirse uno de los siguientes: x < y , x = y , o y < x. Ésta es la llamada "ley de la tricotomía ".

Influencia en otras obras

Para un estudio reciente y cuidadoso de cómo se revisó la Begriffsschrift en la literatura matemática alemana, véase Vilko (1998). Algunos críticos, especialmente Ernst Schröder , fueron en general favorables. Todo el trabajo en lógica formal posterior a la Begriffsschrift está en deuda con él, porque su lógica de segundo orden fue la primera lógica formal capaz de representar una buena parte de las matemáticas y el lenguaje natural.

Algún vestigio de la notación de Frege sobrevive en el símbolo del " torniquete " derivado de su "Urteilsstrich" ( trazo de juzgar / inferir ) │ e "Inhaltsstrich" (es decir , trazo de contenido ) ──. Frege usó estos símbolos en la Begriffsschrift en la forma unificada ├─ para declarar que una proposición es verdadera. En su posterior "Grundgesetze", revisa ligeramente su interpretación del símbolo ├─.${\displaystyle \vdash }$

En "Begriffsschrift" la "Definitionsdoppelstrich" (es decir, definición de doble trazo ) │├─ indica que una proposición es una definición. Además, el signo de negación se puede leer como una combinación de la Inhaltsstrich horizontal con un trazo de negación vertical. Este símbolo de negación fue reintroducido por Arend Heyting ^[1] en 1930 para distinguir la negación intuicionista de la clásica. También aparece en la tesis doctoral de Gerhard Gentzen .${\displaystyle \neg }$

En el Tractatus Logico Philosophicus , Ludwig Wittgenstein rinde homenaje a Frege empleando el término Begriffsschrift como sinónimo de formalismo lógico.

El ensayo de Frege de 1892, " On Sense and Reference ", se retracta de algunas de las conclusiones de la Begriffsschrifft acerca de la identidad (denotada en matemáticas por el signo "="). En particular, rechaza la opinión "Begriffsschrift" de que el predicado de identidad expresa una relación entre nombres, a favor de la conclusión de que expresa una relación entre los objetos que se denotan con esos nombres.

Citas

"Si la tarea de la filosofía es romper el dominio de las palabras sobre la mente humana [...], entonces mi notación conceptual, desarrollada para estos propósitos, puede ser un instrumento útil para los filósofos [...] Creo que la causa La lógica ya ha avanzado con la invención de esta notación de concepto ". (Prefacio a la Begriffsschrift )

Ediciones

• Gottlob Frege . Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Halle a / S: Verlag von Louis Nebert, 1879.

Traducciones:

• Bynum, Terrell Ward , trad. y ed., 1972. Notación conceptual y artículos relacionados , con biografía e introducción. Oxford Uni. Prensa.
• Bauer-Mengelberg, Stefan, 1967, "Concept Script" en Jean van Heijenoort , ed., From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 . Harvard Uni. Prensa.
• Beaney, Michael, 1997, "Begriffsschrift: Selecciones (Prefacio y Parte I)" en The Frege Reader . Oxford: Blackwell.

Ver también

• Relación ancestral
• Cálculo de enunciados equivalentes
• Cálculo proposicional de Frege
• Principia Mathematica

Referencias

1. Arend Heyting: "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik", en: Sitzungsberichte der preußischen Akademie der Wissenschaften, phys.-math. Klasse , 1930, págs. 42–65.

Lectura adicional

• George Boolos , 1985. "Reading the Begriffsschrift ", Mind 94: 331–44.
• Ivor Grattan-Guinness , 2000. En busca de raíces matemáticas . Prensa de la Universidad de Princeton.
• Risto Vilkko, 1998, " La recepción de la Begriffsschrift de Frege ", Historia Mathematica 25 (4) : 412-22.

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Begriffsschrift .

• Zalta, Edward N. "Lógica, teorema y fundamentos de la aritmética de Frege" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
• Begriffsschrift como fax para descargar (2,5 MB)