Valor singular de descomposición

En álgebra lineal , la descomposición en valores singulares ( SVD ) es una factorización de una matriz real o compleja . Generaliza la descomposición propia de una matriz normal cuadrada con una base propia ortonormal a cualquier matriz. Está relacionado con la descomposición polar . ${\ estilo de visualización m \ veces n}$

Específicamente, la descomposición en valores singulares de una matriz compleja $M$ es una factorización de la forma , donde $U$ es una matriz unitaria compleja , es una matriz diagonal rectangular con números reales no negativos en la diagonal y $V$ es una matriz unitaria compleja. Si $M$ es real, también se puede garantizar que $U$ y $V$ sean matrices ortogonales reales. En tales contextos, la SVD a menudo se denota . ${\ estilo de visualización m \ veces n}$ $\mathbf {M} =\mathbf {U\Sigma V^{*}}$ ${\ estilo de visualización m \ veces m}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {\ Sigma}}$ ${\ estilo de visualización m \ veces n}$ ${\ estilo de visualización n \ veces n}$ $\mathbf {U\Sigma V^{T}}$

Las entradas diagonales de están determinadas únicamente por $M$ y se conocen como los valores singulares de $M$ . El número de valores singulares distintos de cero es igual al rango de $M$ . Las columnas de $U$ y las columnas de $V$ se denominan vectores singulares a la izquierda y vectores singulares a la derecha de $M$ , respectivamente. Forman dos conjuntos de bases ortonormales $u$ $1$ $, ...,$ $u$ $m$ y $v$ $1$ $, ...,$ $v$ $n$ , y la descomposición en valores singulares se puede escribir como , donde ${\ estilo de visualización \ sigma _ {i} = \ Sigma _ {ii}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {\ Sigma}}$ $\mathbf {M} =\sum_{i=1}^{r}\sigma_{i}\mathbf {u}_{i}\mathbf {v}_{i}^{*}$ $r\leq \min\{m,n\}$ es el rango de $M$ .

La SVD no es única. Siempre es posible elegir la descomposición para que los valores singulares estén en orden descendente. En este caso, (pero no siempre $U$ y $V$ ) está determinado únicamente por $M$ . ${\ estilo de visualización \ Sigma _ {ii}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {\ Sigma}}$

Ilustración de la descomposición en valores singulares UΣV ^{⁎ de una matriz}M real de 2×2 .

Arriba: La acción de M , indicada por su efecto sobre el disco unitario D y los dos vectores unitarios canónicos e ₁ y e ₂ .
Izquierda: La acción de V ^⁎ , una rotación, sobre D , e ₁ y e ₂ .
Abajo: La acción de Σ , una escala por los valores singulares σ ₁ horizontalmente y σ ₂ verticalmente.
Derecha: La acción de U , otra rotación.

Ilustración animada de la SVD de una matriz de cizallamiento real en 2D

M

. Primero, vemos el disco unitario en azul junto con los dos vectores unitarios canónicos . Entonces vemos las acciones de

M

, que distorsiona el disco a una elipse . El SVD descompone

M

en tres transformaciones simples: una rotación inicial

V ⁎

, una escala a lo largo de los ejes de coordenadas y una rotación final

U

. Las longitudes

σ

1

σ

2

de los semiejes de la elipse son los valores singulares de

{\ estilo de visualización \ mathbf {\ Sigma}}

M

, a saber

Σ 1,1

Σ 2,2

Visualización de las multiplicaciones de matrices en descomposición en valores singulares

Visualización de variantes SVD Reducidas. De arriba a abajo: 1: Full SVD, 2: Thin SVD (eliminar las columnas de U que no correspondan a las filas de V*), 3: Compact SVD (eliminar los valores singulares que desaparecen y las columnas/filas correspondientes en U y V*), 4 : SVD truncado (mantener solo los valores singulares t más grandes y las columnas/filas correspondientes en U y V*)