En matemáticas , particularmente en topología , el lema del tubo es una herramienta útil para demostrar que el producto finito de los espacios compactos es compacto. En general, es un concepto de topología de conjuntos de puntos .
Declaración
El lema utiliza la siguiente terminología:
- Si y son espacios topológicos yes el espacio del producto, que está dotado de la topología del producto , luego un segmento en es un conjunto de la forma por
- Un tubo en es solo un elemento básico , en que contiene una rebanada en dónde es un subconjunto abierto de
Lema de tubo - Let y ser espacios topológicos con compacto, y considere el espacio del producto Si es un conjunto abierto que contiene un segmento en entonces existe un tubo en conteniendo esta rebanada y contenida en
Usando el concepto de mapas cerrados , esto se puede reformular de manera concisa de la siguiente manera: si es cualquier espacio topológico y un espacio compacto, luego el mapa de proyección está cerrado.
Lema tubular generalizada - Let y Ser espacios topológicos y considerar el espacio del producto. Dejar ser un subconjunto compacto de y ser un subconjunto compacto de Si es un conjunto abierto que contiene entonces existe abrir en y abrir en tal que
Ejemplos y propiedades
1. Considere en la topología del producto, que es el plano euclidiano , y el conjunto abierto El conjunto abierto contiene pero no contiene tubo, por lo que en este caso falla el lema del tubo. De hecho, si es un tubo que contiene y contenido en debe ser un subconjunto de para todos los enteros positivos lo que significa contradiciendo el hecho de que está abierto en (porque es un tubo). Esto muestra que el supuesto de compacidad es esencial.
2. El lema del tubo se puede utilizar para demostrar que si y son espacios topológicos compactos, entonces es compacto de la siguiente manera:
Dejar ser una tapa abierta de ; para cada cubrir la rebanada por un número finito de elementos de (esto es posible ya que es compacto siendo homeomorfo para). Llame a la unión de estos elementos finitos Por el lema tubular, hay un conjunto abierto de la forma conteniendo y contenido en La colección de todos por es una tapa abierta de y por lo tanto tiene una subcubierta finita Entonces para cada está contenido en Usando el hecho de que cada es la unión finita de elementos de y que la colección finita cubre la colección es una subcubierta finita de
3. Mediante el ejemplo 2 y la inducción, se puede demostrar que el producto finito de los espacios compactos es compacto.
4. El lema del tubo no se puede utilizar para probar el teorema de Tychonoff , que generaliza lo anterior a productos infinitos.
Prueba
El lema tubular se deriva del lema tubular generalizado tomando y Por tanto, basta con probar el lema tubular generalizado. Según la definición de la topología del producto, para cada hay conjuntos abiertos y tal que Para cualquier es una tapa abierta del conjunto compacto por lo que esta cubierta tiene una subcubierta finita; es decir, hay un conjunto finito tal que contiene donde observar eso está abierto en Para cada dejar que es un abierto en establecido desde es finito. Además, la construcción de y implica que Ahora esencialmente repetimos el argumento para eliminar la dependencia de Dejar ser un subconjunto finito tal que contiene y establecer Luego se sigue del razonamiento anterior que y y están abiertos, lo que completa la prueba.
Ver también
- Teorema de la subbase de Alexander
- Espacio compacto : nociones topológicas de que todos los puntos están "cercanos"
- Topología de producto
- Barrio tubular
- Teorema de tychonoff
Referencias
- James Munkres (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
- Joseph J. Rotman (1988). Introducción a la topología algebraica . Saltador. ISBN 0-387-96678-1. (Ver Capítulo 8, Lema 8.9)