En física teórica , Roger Penrose propuso la teoría de twistor en 1967 [1] como un posible camino [2] hacia la gravedad cuántica y se ha convertido en una rama de la física teórica y matemática . Penrose propuso que el espacio de twistor debería ser la arena básica para la física de la que debería emerger el propio espacio-tiempo. Conduce a un poderoso conjunto de herramientas matemáticas que tienen aplicaciones en geometría diferencial e integral , ecuaciones diferenciales no lineales y teoría de la representación y en física pararelatividad general y teoría cuántica de campos , en particular a las amplitudes de dispersión .
Descripción general
Matemáticamente, espacio proyectivo de twistor es una variedad compleja tridimensional , 3-espacio proyectivo complejo . Tiene la interpretación física del espacio de partículas sin masa con giro . Es la proyectivización de un espacio vectorial complejo de 4 dimensiones , espacio twistor no proyectivo.con una forma de firma hermitiana (2,2) y una forma de volumen holomórfico . Esto se puede entender más naturalmente como el espacio de espinores quirales ( Weyl ) para el grupo conformal. del espacio de Minkowski ; es la representación fundamental del grupo de espín del grupo conformal. Esta definición puede extenderse a dimensiones arbitrarias, excepto que más allá de la dimensión cuatro, se define el espacio de twistor proyectivo como el espacio de espinores puros proyectivos para el grupo conforme. [3] [4]
En su forma original, la teoría de twistor codifica campos físicos en el espacio de Minkowski en objetos analíticos complejos en el espacio de twistor a través de la transformada de Penrose . Esto es especialmente natural para campos sin masa de giro arbitrario . En el primer caso, estos se obtienen mediante fórmulas integrales de contorno en términos de funciones holomórficas libres en regiones en el espacio de twistor. Las funciones de twistor holomórfico que dan lugar a soluciones a las ecuaciones de campo sin masa se entienden más correctamente como representantes de Čech de clases de cohomología analítica en regiones en. Estas correspondencias se han extendido a ciertos campos no lineales, incluida la gravedad auto-dual en la construcción de gravitones no lineales de Penrose [5] y los campos auto-duales de Yang-Mills en la construcción de Ward ; [6] el primero da lugar a deformaciones de la compleja estructura subyacente de regiones en, y el último a ciertos paquetes de vectores holomórficos sobre regiones en . Estas construcciones han tenido amplias aplicaciones. [7] [8] [9]
La condición de auto-dualidad es una limitación importante para incorporar las no linealidades completas de las teorías físicas, aunque es suficiente para los monopolos e instantones Yang-Mills-Higgs (ver construcción ADHM ). [10] Un primer intento de superar esta restricción fue la introducción de ambitwistors por Edward Witten [11] y por Isenberg, Yasskin & Green. [12] El espacio ambitwistor es el espacio de rayos de luz complejos o partículas sin masa y se puede considerar como un haz cotangente o complexificación de la descripción original del twistor. Estos se aplican a campos generales, pero las ecuaciones de campo ya no se expresan de forma tan simple.
Las fórmulas twistoriales para interacciones más allá del sector auto-dual surgieron por primera vez de la teoría de cuerdas twistoriales de Witten . [13] Esta es una teoría cuántica de mapas holomórficos de una superficie de Riemann en un espacio de twistor. Dio lugar a las fórmulas RSV notablemente compactas (Roiban, Spradlin y Volovich) para matrices S a nivel de árbol de las teorías de Yang-Mills, [14] pero sus grados de libertad gravitacional dieron lugar a una versión de supergravedad conforme que limitaba su aplicabilidad; La gravedad conforme es una teoría no física que contiene fantasmas , pero sus interacciones se combinan con las de la teoría de Yang-Mills en amplitudes de bucle calculadas mediante la teoría de cuerdas de twistor. [15]
A pesar de sus deficiencias, la teoría de cuerdas de twistor condujo a un rápido desarrollo en el estudio de las amplitudes de dispersión. Uno fue el llamado formalismo MHV [16] basado libremente en cadenas desconectadas, pero se le dio una base más básica en términos de una acción de twistor para la teoría completa de Yang-Mills en el espacio de twistor. [17] Otro desarrollo clave fue la introducción de la recursividad BCFW. [18] Esto tiene una formulación natural en el espacio de twistor [19] [20] que a su vez condujo a formulaciones notables de amplitudes de dispersión en términos de fórmulas integrales de Grassmann [21] [22] y politopos . [23] Estas ideas han evolucionado más recientemente hacia el Grassmanniano positivo [24] y el amplituedro .
La teoría de cuerdas de twistor se amplió primero generalizando la fórmula de amplitud de RSV Yang-Mills y luego encontrando la teoría de cuerdas subyacente . La extensión a la gravedad fue dada por Cachazo & Skinner, [25] y formulada como una teoría de cuerdas twistor para máxima supergravedad por David Skinner. [26] Entonces Cachazo, He & Yuan encontraron fórmulas análogas en todas las dimensiones para la teoría de Yang-Mills y la gravedad [27] y posteriormente para una variedad de otras teorías. [28] Mason y Skinner [29] las entendieron entonces como teorías de cuerdas en el espacio ambitwistor en un marco general que incluye la cadena twistor original y se extiende para dar una serie de nuevos modelos y fórmulas. [30] [31] [32] Como teorías de cuerdas, tienen las mismas dimensiones críticas que la teoría de cuerdas convencional; Por ejemplo, las versiones supersimétricas de tipo II son críticas en diez dimensiones y son equivalentes a la teoría de campo completo de supergravedades de tipo II en diez dimensiones (esto es distinto de las teorías de cuerdas convencionales que también tienen una jerarquía infinita adicional de estados masivos de espín más alto que proporcionan una terminación ultravioleta ). Se extienden para dar fórmulas para amplitudes de bucle [33] [34] y pueden definirse sobre fondos curvos. [35]
La correspondencia twistor
Denote el espacio de Minkowski por, con coordenadas y métrica de Lorentz firma . Introducir índices de espinor de 2 componentes y establecer
Espacio de twistor no proyectivo es un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones con coordenadas denotadas por dónde y son dos espinores de Weyl constantes . La forma hermitiana se puede expresar definiendo una conjugación compleja de a su dual por para que la forma hermitiana se pueda expresar como
Esto, junto con la forma de volumen holomórfico, es invariante bajo el grupo SU (2,2), una cubierta cuádruple del grupo conforme C (1,3) del espaciotiempo compacto de Minkowski.
Los puntos en el espacio de Minkowski están relacionados con subespacios del espacio twistor a través de la relación de incidencia
La relación de incidencia se conserva bajo un cambio de escala general del twistor, por lo que generalmente se trabaja en el espacio proyectivo del twistor. que es isomorfo como una variedad compleja para . Un punto determina así una línea en parametrizado por Un twistor es más fácil de entender en el espacio-tiempo para valores complejos de las coordenadas donde define un dos-plano totalmente nulo que es auto-dual. Llevar para ser real, entonces si desaparece, entonces yace sobre un rayo de luz, mientras que si no desaparece, no hay soluciones y, de hecho, entonces corresponde a una partícula sin masa con espín que no se localiza en el espacio-tiempo real.
Variaciones
Supervisores
Los supertorstores son una extensión supersimétrica de los twistores introducidos por Alan Ferber en 1978. [36] El espacio de twistor no proyectivo se extiende por coordenadas fermiónicas dondees el número de supersimetrías de modo que un twistor ahora viene dado por con anticonmutación. El grupo superconformalactúa naturalmente en este espacio y una versión supersimétrica de la transformada de Penrose lleva las clases de cohomología en el espacio de supertwistor a multipletes supersimétricos sin masa en el espacio de súper Minkowski. La caso proporciona el objetivo para la cadena twistor original de Penrose y el El caso es el de la generalización de supergravedad de Skinner.
Colectores Hyperkähler
Variedades de dimensión Hyperkähler Admitir también una correspondencia de twistor con un espacio de twistor de dimensión compleja .
Teoría palaciega del twistor
La construcción de gravitón no lineal codifica solo campos anti-auto-dual, es decir, para zurdos. [5] Un primer paso hacia el problema de modificar el espacio de twistor para codificar un campo gravitacional general es la codificación de campos diestros . Infinitesimalmente, estos están codificados en funciones de twistor o clases de cohomología de homogeneidad −6. La tarea de usar tales funciones de twistor de una manera totalmente no lineal para obtener un gravitón no lineal diestro se ha denominado el problema ( gravitacional ) de los googly (la palabra " googly " es un término utilizado en el juego de cricket para un bola lanzada con helicidad diestra utilizando la acción aparente que normalmente daría lugar a helicidad zurda). [37] La propuesta más reciente en esta dirección de Penrose en 2015 se basó en la geometría no conmutativa en el espacio de twistor y se conoce como teoría palaciega de twistor . [38] La teoría lleva el nombre del Palacio de Buckingham , donde Michael Atiyah sugirió a Penrose el uso de un tipo de " álgebra no conmutativa ", un componente importante de la teoría (la estructura de twistor subyacente en la teoría palaciega de twistor no se modeló en el espacio de twistor pero en el álgebra cuántica de twistor holomorfa no conmutativa ). [39]
Ver también
- Independencia de fondo
- Espacio-tiempo complejo
- Historia de la gravedad cuántica de bucles
- Congruencias de Robinson
- Spin network
Notas
- ^ Penrose, R. (1967). "Álgebra de Twistor". Revista de Física Matemática . 8 (2): 345–366. Código bibliográfico : 1967JMP ..... 8..345P . doi : 10.1063 / 1.1705200 .
- ^ Penrose, R .; MacCallum, MAH (1973). "Teoría de Twistor: una aproximación a la cuantificación de campos y espacio-tiempo". Informes de física . 6 (4): 241–315. Código Bibliográfico : 1973PhR ..... 6..241P . doi : 10.1016 / 0370-1573 (73) 90008-2 .
- ^ Penrose, Roger; Rindler, Wolfgang (1986). Spinors y espacio-tiempo . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. Apéndice. doi : 10.1017 / cbo9780511524486 . ISBN 9780521252676.
- ^ Hughston, LP; Mason, LJ (1988). "Un teorema de Kerr-Robinson generalizado". Gravedad clásica y cuántica . 5 (2): 275. Código bibliográfico : 1988CQGra ... 5..275H . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 5/2/007 . ISSN 0264-9381 .
- ↑ a b Penrose, R. (1976). "Gravitones no lineales y teoría de twistor curvo". Gen. Rel. Grav. 7, 31–52.
- ^ Ward, RS (1977). "En campos de calibre dual automático". Physics Letters A . 61 (2): 81–82. Código Bibliográfico : 1977PhLA ... 61 ... 81W . doi : 10.1016 / 0375-9601 (77) 90842-8 .
- ^ 1951-, Ward, RS (Richard Samuel) (1990). Geometría de twistor y teoría de campos . Wells, RO (Raymond O'Neil), 1940-. Cambridge [Inglaterra]: Cambridge University Press. ISBN 978-0521422680. OCLC 17260289 .CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
- ^ Mason, Lionel J; Woodhouse, Nicholas MJ (1996). Integrabilidad, auto-dualidad y teoría de twistor . Oxford: Clarendon Press. ISBN 9780198534983. OCLC 34545252 .
- ^ Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y twistors . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 9780198570622. OCLC 507435856 .
- ^ Atiyah, MF; Hitchin, Nueva Jersey; Drinfeld, VG; Manin, Yu.I. (1978). "Construcción de instantons". Physics Letters A . 65 (3): 185-187. Código bibliográfico : 1978PhLA ... 65..185A . doi : 10.1016 / 0375-9601 (78) 90141-x .
- ^ Witten, Edward (1978). "Una interpretación de la teoría clásica de Yang-Mills". Physics Letters B . 77 (4–5): 394–398. Código Bibliográfico : 1978PhLB ... 77..394W . doi : 10.1016 / 0370-2693 (78) 90585-3 .
- ^ Isenberg, James; Yasskin, Philip B .; Green, Paul S. (1978). "Campos de calibre no auto-dual". Physics Letters B . 78 (4): 462–464. Código Bibliográfico : 1978PhLB ... 78..462I . doi : 10.1016 / 0370-2693 (78) 90486-0 .
- ^ Witten, Edward (6 de octubre de 2004). "Teoría del calibre perturbativo como teoría de cuerdas en el espacio Twistor". Comunicaciones en Física Matemática . 252 (1-3): 189-258. arXiv : hep-th / 0312171 . Código Bibliográfico : 2004CMaPh.252..189W . doi : 10.1007 / s00220-004-1187-3 .
- ^ Roiban, Radu; Spradlin, Marcus; Volovich, Anastasia (30 de julio de 2004). "Matriz S a nivel de árbol de la teoría de Yang-Mills". Physical Review D . 70 (2): 026009. arXiv : hep-th / 0403190 . Código Bibliográfico : 2004PhRvD..70b6009R . doi : 10.1103 / PhysRevD.70.026009 .
- ^ Berkovits, Nathan; Witten, Edward (2004). "Supergravedad conformal en la teoría de cuerdas de twistor". Revista de Física de Altas Energías . 2004 (8): 009. arXiv : hep-th / 0406051 . Código Bibliográfico : 2004JHEP ... 08..009B . doi : 10.1088 / 1126-6708 / 2004/08/009 . ISSN 1126-6708 .
- ^ Cachazo, Freddy; Svrcek, Peter; Witten, Edward (2004). "Vértices de MHV y amplitudes de árboles en la teoría de gauge". Revista de Física de Altas Energías . 2004 (9): 006. arXiv : hep-th / 0403047 . Código bibliográfico : 2004JHEP ... 09..006C . doi : 10.1088 / 1126-6708 / 2004/09/006 . ISSN 1126-6708 .
- ^ Adamo, Tim; Bullimore, Mathew; Mason, Lionel; Skinner, David (2011). "Dispersión de amplitudes y bucles de Wilson en el espacio de twistor". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 44 (45): 454008. arXiv : 1104.2890 . Código bibliográfico : 2011JPhA ... 44S4008A . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 44/45/454008 .
- ^ Britto, Ruth ; Cachazo, Freddy; Feng, Bo; Witten, Edward (10 de mayo de 2005). "Prueba directa de la relación de recursión de amplitud de dispersión a nivel de árbol en la teoría de Yang-Mills". Cartas de revisión física . 94 (18): 181602. arXiv : hep-th / 0501052 . Código Bibliográfico : 2005PhRvL..94r1602B . doi : 10.1103 / PhysRevLett.94.181602 . PMID 15904356 .
- ^ Mason, Lionel; Skinner, David (1 de enero de 2010). "Dispersión de amplitudes y recursividad BCFW en espacio de twistor". Revista de Física de Altas Energías . 2010 (1): 64. arXiv : 0903.2083 . Código bibliográfico : 2010JHEP ... 01..064M . doi : 10.1007 / JHEP01 (2010) 064 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Arkani-Hamed, N .; Cachazo, F .; Cheung, C .; Kaplan, J. (1 de marzo de 2010). "La matriz S en el espacio twistor". Revista de Física de Altas Energías . 2010 (3): 110. arXiv : 0903.2110 . Código bibliográfico : 2010JHEP ... 03..110A . doi : 10.1007 / JHEP03 (2010) 110 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Arkani-Hamed, N .; Cachazo, F .; Cheung, C .; Kaplan, J. (1 de marzo de 2010). "Una dualidad para la matriz S". Revista de Física de Altas Energías . 2010 (3): 20. arXiv : 0907.5418 . Código bibliográfico : 2010JHEP ... 03..020A . doi : 10.1007 / JHEP03 (2010) 020 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Mason, Lionel; Skinner, David (2009). "Invarianza superconformal dual, giros de impulso y Grassmannianos". Revista de Física de Altas Energías . 2009 (11): 045. arXiv : 0909.0250 . Código Bibliográfico : 2009JHEP ... 11..045M . doi : 10.1088 / 1126-6708 / 2009/11/045 . ISSN 1126-6708 .
- ^ Hodges, Andrew (1 de mayo de 2013). "Eliminación de polos espurios de amplitudes teóricas de gauge". Revista de Física de Altas Energías . 2013 (5): 135. arXiv : 0905.1473 . Código bibliográfico : 2013JHEP ... 05..135H . doi : 10.1007 / JHEP05 (2013) 135 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Arkani-Hamed, Nima; Bourjaily, Jacob L .; Cachazo, Freddy; Goncharov, Alexander B .; Postnikov, Alexander; Trnka, Jaroslav (21 de diciembre de 2012). "Amplitudes de dispersión y Grassmannian positivo". arXiv : 1212,5605 [ hep-ésimo ].
- ^ Cachazo, Freddy; Skinner, David (16 de abril de 2013). "Gravedad de curvas racionales en el espacio Twistor". Cartas de revisión física . 110 (16): 161301. arXiv : 1207.0741 . Código Bibliográfico : 2013PhRvL.110p1301C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.110.161301 . PMID 23679592 .
- ^ Skinner, David (4 de enero de 2013). "Cadenas de Twistor para N = 8 supergravedad". arXiv : 1301,0868 [ hep-ésimo ].
- ^ Cachazo, Freddy; Él, Song; Yuan, Ellis Ye (1 de julio de 2014). "Dispersión de partículas sin masa: escalares, gluones y gravitones". Revista de Física de Altas Energías . 2014 (7): 33. arXiv : 1309.0885 . Código bibliográfico : 2014JHEP ... 07..033C . doi : 10.1007 / JHEP07 (2014) 033 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Cachazo, Freddy; Él, Song; Yuan, Ellis Ye (1 de julio de 2015). "Ecuaciones y matrices de dispersión: de Einstein a Yang-Mills, DBI y NLSM". Revista de Física de Altas Energías . 2015 (7): 149. arXiv : 1412.3479 . Código bibliográfico : 2015JHEP ... 07..149C . doi : 10.1007 / JHEP07 (2015) 149 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Mason, Lionel; Skinner, David (1 de julio de 2014). "Ambitwistor strings y las ecuaciones de dispersión". Revista de Física de Altas Energías . 2014 (7): 48. arXiv : 1311.2564 . Código bibliográfico : 2014JHEP ... 07..048M . doi : 10.1007 / JHEP07 (2014) 048 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Berkovits, Nathan (1 de marzo de 2014). "Límite de tensión infinita de la supercuerda de espinor puro". Revista de Física de Altas Energías . 2014 (3): 17. arXiv : 1311.4156 . Código bibliográfico : 2014JHEP ... 03..017B . doi : 10.1007 / JHEP03 (2014) 017 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Geyer, Yvonne; Lipstein, Arthur E .; Mason, Lionel (19 de agosto de 2014). "Ambitwistor Strings en cuatro dimensiones". Cartas de revisión física . 113 (8): 081602. arXiv : 1404.6219 . Código Bibliográfico : 2014PhRvL.113h1602G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.113.081602 . PMID 25192087 .
- ^ Casali, Eduardo; Geyer, Yvonne; Mason, Lionel; Monteiro, Ricardo; Roehrig, Kai A. (1 de noviembre de 2015). "Nuevas teorías de cadenas de ambitwistor". Revista de Física de Altas Energías . 2015 (11): 38. arXiv : 1506.08771 . Código bibliográfico : 2015JHEP ... 11..038C . doi : 10.1007 / JHEP11 (2015) 038 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Adamo, Tim; Casali, Eduardo; Skinner, David (1 de abril de 2014). "Ambitwistor strings y las ecuaciones de dispersión en un bucle". Revista de Física de Altas Energías . 2014 (4): 104. arXiv : 1312.3828 . Código bibliográfico : 2014JHEP ... 04..104A . doi : 10.1007 / JHEP04 (2014) 104 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Geyer, Yvonne; Mason, Lionel; Monteiro, Ricardo; Tourkine, Piotr (16 de septiembre de 2015). "Integrandos de bucle para la dispersión de amplitudes de la esfera de Riemann". Cartas de revisión física . 115 (12): 121603. arXiv : 1507.00321 . Código Bibliográfico : 2015PhRvL.115l1603G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.115.121603 . PMID 26430983 .
- ^ Adamo, Tim; Casali, Eduardo; Skinner, David (1 de febrero de 2015). "Una teoría de la hoja del mundo para la supergravedad". Revista de Física de Altas Energías . 2015 (2): 116. arXiv : 1409.5656 . Código Bib : 2015JHEP ... 02..116A . doi : 10.1007 / JHEP02 (2015) 116 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Ferber, A. (1978), "Supertwistors and conformal supersymmetry", Nuclear Physics B , 132 (1): 55-64, Bibcode : 1978NuPhB.132 ... 55F , doi : 10.1016 / 0550-3213 (78) 90257- 2 .
- ^ Penrose 2004, p. 1000.
- ^ Penrose R. (2015). "Teoría palaciega del twistor y el problema de los googly del twistor". Phil. Trans. R. Soc. A 373 : 20140237.
- ^ "Estado de ánimo imaginativo de Michael Atiyah" - Revista Quanta .
Referencias
- Roger Penrose (2004), El camino a la realidad , Alfred A. Knopf, cap. 33, págs. 958–1009.
- Roger Penrose y Wolfgang Rindler (1984), Spinors y espacio-tiempo; vol. 1, Cálculo de dos espinos y campos relativíticos , Cambridge University Press, Cambridge.
- Roger Penrose y Wolfgang Rindler (1986), Spinors and Space-Time; vol. 2, Métodos Spinor y Twistor en geometría espacio-temporal , Cambridge University Press, Cambridge.
Otras lecturas
- Atiyah, M., Dunajski, M. y Mason, LJ (2017). "Teoría de twistor en cincuenta: de integrales de contorno a cadenas de twistor" . Proc. R. Soc. Una . 473 (2206): 20170530. doi : 10.1098 / rspa.2017.0530 . ISSN 1364-5021 .
- Baird, P., " Introducción a los Twistors ".
- Huggett, S. y Tod, KP (1994). Una introducción a la teoría de Twistor , segunda edición. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521456890 . OCLC 831625586 .
- Hughston, LP (1979) Twistors and Particles . Springer Lecture Notes in Physics 97, Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09244-5 .
- Hughston, LP y Ward, RS, eds (1979) Avances en la teoría de Twistor . Minero. ISBN 0-273-08448-8 .
- Mason, LJ y Hughston, LP, eds (1990) Más avances en la teoría de Twistor, Volumen I: La transformada de Penrose y sus aplicaciones . Pitman Research Notes in Mathematics Series 231, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00466-7 .
- Mason, LJ, Hughston, LP y Kobak, PK, eds (1995) Más avances en la teoría de Twistor, Volumen II: Sistemas integrables, geometría conformal y gravitación . Pitman Research Notes in Mathematics Series 232, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00465-9 .
- Mason, LJ, Hughston, LP, Kobak, PK y Pulverer, K., eds (2001) Más avances en la teoría de Twistor, Volumen III: Espacios curvos de Twistor . Notas de investigación en matemáticas 424, Chapman y Hall / CRC. ISBN 1-58488-047-3 .
- Penrose, Roger (1967), "Twistor Algebra" , Journal of Mathematical Physics , 8 (2): 345–366, Bibcode : 1967JMP ..... 8..345P , doi : 10.1063 / 1.1705200 , MR 0216828 , archivado desde el original el 2013-01-12
- Penrose, Roger (1968), "Twistor Quantisation and Curved Space-time", International Journal of Theoretical Physics , 1 (1): 61–99, Bibcode : 1968IJTP .... 1 ... 61P , doi : 10.1007 / BF00668831
- Penrose, Roger (1969), "Soluciones de las ecuaciones de masa en reposo cero" , Journal of Mathematical Physics , 10 (1): 38-39, Bibcode : 1969JMP .... 10 ... 38P , doi : 10.1063 / 1.1664756 , archivado desde el original el 12 de enero de 2013
- Penrose, Roger (1977), "The Twistor Program", Reports on Mathematical Physics , 12 (1): 65–76, Bibcode : 1977RpMP ... 12 ... 65P , doi : 10.1016 / 0034-4877 (77) 90047 -7 , MR 0465032
- Penrose, Roger (1999) " El programa central de la teoría de Twistor " , Caos, solitones y fractales 10: 581–611.
- Witten, Edward (2004), "Teoría del calibre perturbativo como teoría de cuerdas en el espacio Twistor", Communications in Mathematical Physics , 252 (1-3): 189-258, arXiv : hep-th / 0312171 , Bibcode : 2004CMaPh.252. .189W , doi : 10.1007 / s00220-004-1187-3
enlaces externos
- Penrose, Roger (1999), " Teoría de la ecuación y el twistor de Einstein: desarrollos recientes "
- Penrose, Roger; Hadrovich, Fedja. " Teoría Twistor " .
- Hadrovich, Fedja, " Twistor Primer " .
- Penrose, Roger. " Sobre los orígenes de la teoría de Twistor " .
- Jozsa, Richard (1976), " Aplicaciones de la cohomología de la gavilla en la teoría de Twistor " .
- Dunajski, Maciej, " Teoría de Twistor y ecuaciones diferenciales " .
- Andrew Hodges , Resumen de desarrollos recientes.
- Huggett, Stephen (2005), " Los elementos de la teoría de Twistor " .
- Mason, LJ, " El programa de twistor y las cadenas de twistor: ¿De las cadenas de twistor a la gravedad cuántica? "
- Sämann, Christian (2006), " Aspectos de la geometría de Twistor y las teorías de campos supersimétricos dentro de la teoría de supercuerdas " .
- Sparling, George (1999), " On Time Asymmetry " .
- Spradlin, Marcus (2006), " Progreso y perspectivas en la teoría de cuerdas Twistor " .
- MathWorld: Twistors.
- Revisión del Universo: " Teoría Twistor " .
- Archivos del boletín de Twistor .