En matemáticas , el teorema de Tychonoff establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto con respecto a la topología del producto . El teorema lleva el nombre de Andrey Nikolayevich Tikhonov (cuyo apellido a veces se transcribe Tychonoff ), quien lo demostró por primera vez en 1930 para potencias del intervalo unitario cerrado y en 1935 estableció el teorema completo junto con la observación de que su prueba era la misma que para el caso especial. La prueba publicada más antigua conocida está contenida en un artículo de 1937 de Eduard Čech .
El teorema de Tychonoff a menudo se considera quizás el resultado más importante en topología general (junto con el lema de Urysohn ). [1] El teorema también es válido para espacios topológicos basados en conjuntos borrosos . [2]
El teorema depende crucialmente de las definiciones precisas de compacidad y de la topología del producto ; de hecho, el artículo de Tychonoff de 1935 define la topología del producto por primera vez. Por el contrario, parte de su importancia es dar confianza de que estas definiciones particulares son las más útiles (es decir, las que mejor se comportan).
De hecho, la definición de compacidad de Heine-Borel, que cada cubierta de un espacio por conjuntos abiertos admite una subcubierta finita, es relativamente reciente. Más popular en el siglo XIX y principios del XX fue el criterio de Bolzano-Weierstrass de que cada secuencia admite una subsecuencia convergente, ahora llamada compacidad secuencial . Estas condiciones son equivalentes para espacios metrizables , pero ninguna implica a la otra en la clase de todos los espacios topológicos.
Es casi trivial demostrar que el producto de dos espacios secuencialmente compactos es secuencialmente compacto: uno pasa a una subsecuencia para el primer componente y luego a una subsecuencia para el segundo componente. Un argumento de "diagonalización" solo un poco más elaborado establece la compacidad secuencial de un producto contable de espacios secuencialmente compactos. Sin embargo, el producto de muchas copias continuas del intervalo unitario cerrado (con su topología habitual) no es secuencialmente compacto con respecto a la topología del producto, aunque es compacto según el teorema de Tychonoff (p. ej., véase Wilansky 1970 , p. 134). .
Esta es una falla crítica: si X es un espacio de Hausdorff completamente regular , hay una incrustación natural de X en [0,1] C ( X ,[0,1]) , donde C ( X ,[0,1]) es el conjunto de mapas continuos de X a [0,1]. La compacidad de [0,1] C ( X ,[0,1]) muestra que todo espacio de Hausdorff completamente regular se incrusta en un espacio compacto de Hausdorff (o puede "compactarse"). Esta construcción es la compactación de Stone-Čech. Por el contrario, todos los subespacios de los espacios compactos de Hausdorff son Hausdorff completamente regulares, por lo que esto caracteriza a los espacios de Hausdorff completamente regulares como aquellos que se pueden compactar. Tales espacios ahora se llaman espacios de Tychonoff .