Ecuación ultrahiperbólica

En el campo matemático de las ecuaciones diferenciales parciales , la ecuación ultrahiperbólica es una ecuación diferencial parcial para una función escalar desconocida u de 2 n variables x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n de la forma

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{1}^{2}}}-\cdots -{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{n}^{2}}}=0.\qquad \qquad (1)}$

De manera más general, si a es cualquier forma cuadrática en 2 n variables con firma ( n , n ), entonces se dice que cualquier PDE cuya parte principal sea ​​ultrahiperbólica. Cualquiera de estas ecuaciones se puede poner en la forma anterior mediante un cambio de variables. ^[1]${\displaystyle a_{ij}u_{x_{i}x_{j}}}$

La ecuación ultrahiperbólica se ha estudiado desde varios puntos de vista. Por un lado, se parece a la ecuación de onda clásica . Esto ha llevado a una serie de desarrollos relacionados con sus características , uno de los cuales se debe a Fritz John : la ecuación de John .

En 2008, Walter Craig y Steven Weinstein demostraron que, bajo una restricción no local, el problema del valor inicial está bien planteado para los datos iniciales dados en una hipersuperficie de codimensión uno. ^[2]

La ecuación también se ha estudiado desde el punto de vista de espacios simétricos y operadores diferenciales elípticos . ^[3] En particular, la ecuación ultrahiperbólica satisface un análogo del teorema del valor medio para funciones armónicas .

Notas

1. Ver Courant y Hilbert.
2. Craig, Walter; Weinstein, Steven. "Sobre el determinismo y el bien planteado en múltiples dimensiones temporales" . Proc. R. Soc. A vol. 465 no. 2110 3023-3046 (2008) . Consultado el 5 de diciembre de 2013 .
3. Véase, por ejemplo, Helgasson.

Referencias

• David Hilbert ; Richard Courant (1962). Métodos de física matemática, vol. 2 . Wiley-Interscience. págs. 744–752. ISBN 978-0-471-50439-9.
• Lars Hörmander (20 de agosto de 2001). "Teorema del valor medio de Asgeirsson e identidades relacionadas" . Revista de análisis funcional . 2 (184): 377–401. doi : 10.1006 / jfan.2001.3743 .
• Lars Hörmander (1990). El análisis de los diferenciales parciales lineales Operadores I . Springer-Verlag. Teorema 7.3.4. ISBN 978-3-540-52343-7.
• Sigurdur Helgason (2000). Grupos y análisis geométrico . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 319–323. ISBN 978-0-8218-2673-7.
• Fritz John (1938). "La ecuación diferencial ultrahiperbólica con cuatro variables independientes". Duke Math. J . 4 (2): 300–322. doi : 10.1215 / S0012-7094-38-00423-5 .

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