En geometría hiperbólica , dos líneas pueden cruzarse, ser ultraparalelas o ser paralelas limitantes .
El teorema ultraparalelo establece que cada par de líneas ultraparalelas (distintas) tiene una perpendicular común única (una línea hiperbólica que es perpendicular a ambas líneas).
La construcción de Hilbert
Sean rys dos rectas ultraparalelas.
Desde dos puntos distintos A y C en s, dibuje AB y CB 'perpendiculares ar con B y B' en r.
Si sucede que AB = CB ', entonces la perpendicular común deseada une los puntos medios de AC y BB' (por la simetría del cuadrilátero de Saccheri ACB'B).
Si no es así, podemos suponer AB
Entonces D '≠ D. Están a la misma distancia de r y ambos se encuentran en s. Entonces, la bisectriz perpendicular de D'D (un segmento de s) también es perpendicular a r. [1]
(Si rys fueran asintóticamente paralelos en lugar de ultraparalelos, esta construcción fallaría porque s 'no se encontraría con s. En cambio, s' sería asintóticamente paralela tanto a s como a r).
Prueba en el modelo de semiplano de Poincaré
Dejar
ser cuatro puntos distintos en la abscisa del plano cartesiano . Dejar y ser semicírculos por encima de la abscisa con diámetros y respectivamente. Luego, en el modelo de semiplano de Poincaré HP, y representan líneas ultraparalelas.
Componga los siguientes dos movimientos hiperbólicos :
Luego
Ahora continúe con estos dos movimientos hiperbólicos:
Luego se queda en , , , (decir). El semicírculo único, con centro en el origen, perpendicular al dedebe tener un radio tangente al radio del otro. El triángulo rectángulo formado por la abscisa y los radios perpendiculares tiene hipotenusa de longitud. Desde es el radio del semicírculo en , la perpendicular común buscada tiene radio-cuadrado
Los cuatro movimientos hiperbólicos que produjeron arriba se pueden invertir y aplicar en orden inverso al semicírculo centrado en el origen y del radio para producir la línea hiperbólica única perpendicular a ambos ultraparallels y .
Prueba en el modelo Beltrami-Klein
En el modelo de Beltrami-Klein de la geometría hiperbólica:
- dos líneas ultraparalelas corresponden a dos cuerdas que no se cruzan .
- Los polos de estas dos líneas son las respectivas intersecciones de las líneas tangentes al círculo límite en los puntos finales de las cuerdas.
- Las líneas perpendiculares a la línea l están modeladas por cuerdas cuya extensión pasa por el polo de l .
- Por lo tanto, trazamos la línea única entre los polos de las dos líneas dadas y la cortamos con el círculo límite; la cuerda de intersección será la perpendicular común deseada de las líneas ultraparalelas.
Si una de las cuerdas resulta ser un diámetro, no tenemos un polo, pero en este caso cualquier cuerda perpendicular al diámetro también es perpendicular en el modelo de Beltrami-Klein, por lo que trazamos una línea a través del polo de la otra línea que interseca el diámetro en ángulo recto para obtener la perpendicular común.
La prueba se completa mostrando que esta construcción siempre es posible:
- Si ambos cordones son diámetros, se cruzan (en el centro del círculo límite)
- Si solo una de las cuerdas es un diámetro, la otra cuerda se proyecta ortogonalmente hacia abajo a una sección de la primera cuerda contenida en su interior, y una línea desde el poste ortogonal al diámetro interseca tanto el diámetro como la cuerda.
- Si ambas líneas no son diámetros, entonces podemos extender las tangentes dibujadas desde cada polo para producir un cuadrilátero con el círculo unitario inscrito dentro de él. [ ¿cómo? ] Los polos son vértices opuestos de este cuadrilátero, y las cuerdas son líneas dibujadas entre lados adyacentes del vértice, a través de esquinas opuestas. Dado que el cuadrilátero es convexo, [ ¿por qué? ] la línea entre los polos se cruza con las dos cuerdas dibujadas en las esquinas, y el segmento de la línea entre las cuerdas define la cuerda requerida perpendicular a las otras dos cuerdas.
Alternativamente, podemos construir la perpendicular común de las líneas ultraparalelas de la siguiente manera: las líneas ultraparalelas en el modelo de Beltrami-Klein son dos cuerdas que no se cruzan. Pero en realidad se cruzan fuera del círculo. El polar del punto de intersección es la perpendicular común deseada. [2]
Referencias
- ^ HSM Coxeter . Geometría no euclidiana . págs. 190-192. ISBN 978-0-88385-522-5.
- ^ W. Thurston, Topología y geometría tridimensional , página 72
- Karol Borsuk y Wanda Szmielew (1960) Fundamentos de la geometría , página 291.