Un cuadrilátero de Saccheri (también conocido como cuadrilátero de Khayyam-Saccheri ) es un cuadrilátero con dos lados iguales perpendiculares a la base. Lleva el nombre de Giovanni Gerolamo Saccheri , quien lo utilizó ampliamente en su libro Euclides ab omni naevo vindicatus (literalmente Euclides liberado de todos los defectos) publicado por primera vez en 1733, un intento de probar el postulado paralelo utilizando el método Reductio ad absurdum .
La primera consideración conocida del cuadrilátero Saccheri fue realizada por Omar Khayyam a fines del siglo XI, y en ocasiones se le puede llamar el cuadrilátero Khayyam-Saccheri. [1]
Para un cuadrilátero de Saccheri ABCD, los lados AD y BC (también llamados catetos) tienen la misma longitud y también son perpendiculares a la base AB. El CD superior es la cumbre o base superior y los ángulos en C y D se denominan ángulos de cumbre.
La ventaja de usar cuadriláteros de Saccheri al considerar el postulado paralelo es que colocan las opciones mutuamente excluyentes en términos muy claros:
- ¿Son los ángulos de la cumbre ángulos rectos, ángulos obtusos o ángulos agudos?
Como resulta:
- cuando los ángulos de la cumbre son ángulos rectos, la existencia de este cuadrilátero es equivalente al enunciado expuesto por el quinto postulado de Euclides.
- Cuando los ángulos de la cumbre son agudos, este cuadrilátero conduce a una geometría hiperbólica y
- cuando los ángulos de la cumbre son obtusos, el cuadrilátero da lugar a una geometría elíptica o esférica (siempre que también se realicen otras modificaciones a los postulados [2] ).
El propio Saccheri, sin embargo, pensó que tanto el caso obtuso como el agudo podrían mostrarse contradictorios . Demostró que el caso obtuso era contradictorio, pero no manejó adecuadamente el caso agudo. [3]
Historia
Los cuadriláteros de Saccheri fueron considerados por primera vez por Omar Khayyam (1048-1131) a fines del siglo XI en el Libro I de Explicaciones de las dificultades en los postulados de Euclides . [1] A diferencia de muchos comentaristas de Euclides antes y después de él (incluido, por supuesto, Saccheri), Khayyam no estaba tratando de probar el postulado paralelo como tal, sino derivarlo de un postulado equivalente que formuló a partir de "los principios del filósofo" ( Aristóteles ):
- Dos líneas rectas convergentes se cruzan y es imposible que dos líneas rectas convergentes diverjan en la dirección en la que convergen. [4]
Khayyam luego consideró los tres casos rectos, obtusos y agudos que pueden tomar los ángulos de la cumbre de un cuadrilátero de Saccheri y, después de probar una serie de teoremas sobre ellos, refutó (correctamente) los casos obtusos y agudos basándose en su postulado y, por lo tanto, derivó el postulado clásico de Euclides.
No fue hasta 600 años después que Giordano Vitale hizo un avance sobre Khayyam en su libro Euclide restituo (1680, 1686), cuando usó el cuadrilátero para demostrar que si tres puntos son equidistantes en la base AB y la cumbre CD, entonces AB y CD están en todas partes equidistantes.
El mismo Saccheri basó toda su larga y finalmente defectuosa demostración del postulado paralelo en torno al cuadrilátero y sus tres casos, demostrando muchos teoremas sobre sus propiedades a lo largo del camino.
Cuadriláteros de Saccheri en geometría hiperbólica
Sea ABCD un cuadrilátero de Saccheri que tiene AB como base , CD como cima y CA y DB como lados iguales que son perpendiculares a la base. Las siguientes propiedades son válidas en cualquier cuadrilátero de Saccheri en geometría hiperbólica : [5]
- Los ángulos de la cumbre (los ángulos en C y D ) son iguales y agudos.
- La cima es más larga que la base .
- Dos cuadriláteros de Saccheri son congruentes si:
- los segmentos de la base y los ángulos de la cumbre son congruentes
- los segmentos de la cumbre y los ángulos de la cumbre son congruentes.
- El segmento de línea que une el punto medio de la base y el punto medio de la cumbre:
- Es perpendicular a la base y la cima,
- es la única línea de simetría del cuadrilátero,
- es el segmento más corto que conecta la base y la cima,
- es perpendicular a la línea que une los puntos medios de los lados,
- divide el cuadrilátero de Saccheri en dos cuadriláteros de Lambert .
- El segmento de línea que une los puntos medios de los lados no es perpendicular a ninguno de los lados.
Ecuaciones
En el plano hiperbólico de curvatura constante , la cumbre de un cuadrilátero de Saccheri se puede calcular a partir del cateto y la base usando la fórmula
Azulejos en el modelo de disco de Poincaré
Existen mosaicos del modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico que tienen cuadriláteros de Saccheri como dominios fundamentales . Además de los 2 ángulos rectos, estos cuadriláteros tienen ángulos agudos en la cima. Los mosaicos exhiben una simetría * nn22 ( notación orbifold ) e incluyen:
* 3322 simetría | * ∞∞22 simetría |
Ver también
Notas
- ↑ a b Boris Abramovich Rozenfelʹd (1988). Una historia de la geometría no euclidiana: evolución del concepto de espacio geométrico (traducción de Abe Shenitzer ed.). Saltador. pag. 65. ISBN 0-387-96458-4.
- ^ Coxeter 1998 , pág. 11
- ^ Faber 1983 , pág. 145
- ^ Boris A Rosenfeld y Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry , p.467 en Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , Routledge, ISBN 0-415-12411-5 .
- ^ Faber 1983 , págs.146-147
- ^ P. Buser y H. Karcher. Colectores casi planos de Gromov. Asterisque 81 (1981), página 104.
- ^ Greenberg, Marvin Jay (2003). Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia (3ª ed.). Nueva York: Freeman. pag. 411. ISBN 9780716724469. CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
Referencias
- Coxeter, HSM (1998), Geometría no euclidiana (6a ed.), Washington, DC: Asociación Matemática de América, ISBN 0-88385-522-4
- Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de la geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
- MJ Greenberg , Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia , 4a edición, WH Freeman, 2008.
- George E. Martin, Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano , Springer-Verlag, 1975