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En matemáticas, el inverso aditivo de un número a es el número que, cuando se suma a a , da como resultado cero . Este número también se conoce como opuesto (número), [1] cambio de signo , [2] y negación . [3] Para un número real , invierte su signo : el inverso aditivo (número opuesto) de un número positivo es negativo y el inverso aditivo de un número negativo es positivo. El cero es el inverso aditivo de sí mismo.
El inverso aditivo de a se denota por unario menos : - a (ver también § Relación con la resta más abajo). [4] [5] Por ejemplo, el inverso aditivo de 7 es −7, porque 7 + (−7) = 0 , y el inverso aditivo de −0,3 es 0,3, porque −0,3 + 0,3 = 0 .
De manera similar, el inverso aditivo de a - b es - ( a - b ) que se puede simplificar ab - a . El inverso aditivo de 2 x - 3 es 3-2 x , porque 2 x - 3 + 3-2 x = 0 . [6]
El inverso aditivo se define como su elemento inverso bajo la operación binaria de suma (ver también § Definición formal a continuación), lo que permite una amplia generalización a objetos matemáticos distintos de los números. Como para cualquier operación inversa, la inversa aditiva doble no tiene efecto neto : - (- x ) = x .
Para un número (y más generalmente en cualquier anillo ), el inverso aditivo se puede calcular usando la multiplicación por -1 ; es decir, - n = −1 × n . Ejemplos de anillos de números son números enteros , números racionales , números reales y números complejos .
El inverso aditivo está estrechamente relacionado con la resta , que puede verse como una suma de lo contrario:
Por el contrario, el inverso aditivo se puede considerar como una resta de cero:
Por lo tanto, la notación de signo menos unario puede verse como una forma abreviada de resta (con el símbolo "0" omitido), aunque en una tipografía correcta , no debería haber espacio después del "-" unario.
Además de las identidades enumeradas anteriormente, la negación tiene las siguientes propiedades algebraicas:
La notación + generalmente se reserva para operaciones binarias conmutativas (operaciones donde x + y = y + x para todo x , y ). Si tal operación admite un elemento de identidad o (tal que x + o (= o + x ) = x para todo x ), entonces este elemento es único ( o ′ = o ′ + o = o ). Para una x dada , si existe x ′tal que x + x ′ (= x ′ + x ) = o , entonces x ′ se llama un inverso aditivo de x .
Si + es asociativo , es decir, ( x + y ) + z = x + ( y + z ) para todo x , y , z , entonces un inverso aditivo es único. Para ver esto, sean x ′ y x ″ cada uno inverso aditivo de x ; luego
Por ejemplo, dado que la suma de números reales es asociativa, cada número real tiene un inverso aditivo único.
Todos los siguientes ejemplos son, de hecho, grupos abelianos :
Los números naturales , los números cardinales y los números ordinales no tienen inversos aditivos dentro de sus respectivos conjuntos . Por lo tanto se puede decir, por ejemplo, que los números naturales no tienen inversos aditivos, sino porque estos inversos aditivos no son ellos mismos números naturales, el conjunto de los números naturales no es cerrado bajo teniendo inversos aditivos.
... para tomar el inverso aditivo del miembro, cambiamos el signo del número.