En matemáticas , el teorema del límite uniforme establece que el límite uniforme de cualquier secuencia de funciones continuas es continuo.
Declaración
Más precisamente, dejar que X sea un espacio topológico , deja que Y sea un espacio métrico , y dejar ƒ n : X → Y sea una secuencia de funciones que convergen uniformemente a una función ƒ: X → Y . De acuerdo con el teorema del límite uniforme, si cada una de las funciones ƒ n es continua, entonces el límite ƒ también debe ser continuo.
Este teorema no se cumple si la convergencia uniforme se reemplaza por la convergencia puntual . Por ejemplo, sea ƒ n : [0, 1] → R la secuencia de funciones ƒ n ( x ) = x n . Entonces cada función ƒ n es continua, pero la secuencia converge puntualmente a la función discontinua ƒ que es cero en [0, 1) pero tiene ƒ (1) = 1. Otro ejemplo se muestra en la imagen adyacente.
En términos de espacios funcionales , el teorema del límite uniforme dice que el espacio C ( X , Y ) de todas las funciones continuas desde un espacio topológico X a un espacio métrico Y es un subconjunto cerrado de Y X bajo la métrica uniforme . En el caso de que Y sea completo , se deduce que C ( X , Y ) es en sí mismo un espacio métrico completo. En particular, si Y es un espacio de Banach , entonces C ( X , Y ) es en sí mismo un espacio de Banach según la norma uniforme .
El teorema del límite uniforme también se cumple si la continuidad se reemplaza por la continuidad uniforme . Es decir, si X e Y son espacios métricos y ƒ n : X → Y es una secuencia de funciones uniformemente continuas que convergen uniformemente a una función f, entonces f debe ser uniformemente continua.
Prueba
Para demostrar la continuidad de f , tenemos que demostrar que para todo ε > 0, existe una vecindad U de cualquier punto x de X tal que:
Considere un ε > 0 arbitrario . Dado que la secuencia de funciones { f n } converge uniformemente af por hipótesis, existe un número natural N tal que:
Además, dado que f N es continua en X por hipótesis, para cada x existe una vecindad U tal que:
En el paso final, aplicamos la desigualdad del triángulo de la siguiente manera:
Por lo tanto, hemos demostrado que la primera desigualdad en la prueba se mantiene, por lo que, por definición, f es continua por todas partes en X .
Referencias
- James Munkres (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.