variedad racional

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En matemáticas , una variedad racional es una variedad algebraica , sobre un campo K dado , que es biracionalmente equivalente a un espacio proyectivo de alguna dimensión sobre K. Esto significa que su campo funcional es isomorfo a

el campo de todas las funciones racionales para algún conjunto de indeterminados , donde d es la dimensión de la variedad.${\ estilo de visualización \ {U_ {1}, \ puntos, U_ {d} \}}$

Sea V una variedad algebraica afín de dimensión d definida por un ideal primo I  = ⟨ f ₁ , ..., f _k ⟩ in . Si V es racional, entonces hay n  + 1 polinomios g ₀ , ..., g _n tales que En otras palabras, tenemos una parametrización racional de la variedad.${\displaystyle K[X_{1},\puntos,X_{n}]}$${\displaystyle K(U_{1},\puntos,U_{d})}$${\displaystyle f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots,g_{n}/g_{0})=0.}$${\displaystyle x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots,u_{d})}$

Por el contrario, tal parametrización racional induce un homomorfismo de campo del campo de funciones de V en . Pero este homomorfismo no es necesariamente sobre . Si tal parametrización existe, la variedad se dice uniracional . El teorema de Lüroth (ver más abajo) implica que las curvas uniracionales son racionales. El teorema de Castelnuovo implica también que, en característica cero, toda superficie uniracional es racional.${\displaystyle K(U_{1},\puntos,U_{d})}$

Una pregunta de racionalidad pregunta si una extensión de campo dada es racional , en el sentido de ser (hasta el isomorfismo) el campo funcional de una variedad racional; tales extensiones de campo también se describen como puramente trascendentales . Más precisamente, la pregunta de racionalidad para la extensión del campo es la siguiente: ¿es isomorfo a un campo de función racional en el número de indeterminados dado por el grado de trascendencia ?${\ estilo de visualización K \ subconjunto L}$${\ estilo de visualización L}$ ${\ estilo de visualización K}$

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