El teorema de incrustación universal , o teorema de incrustación universal de Krasner-Kaloujnine , es un teorema de la disciplina matemática de la teoría de grupos publicado por primera vez en 1951 por Marc Krasner y Lev Kaluznin . [1] El teorema de que cualquier extensión de grupo de un grupo H por un grupo A es isomorfo a un subgrupo de la regular de producto guirnalda A Wr H . El teorema se nombra por el hecho de que se dice que el grupo A Wr H es universal con respecto a todas las extensiones deH por A .
Declaración
Sean H y A grupos, sea K = A H el conjunto de todas las funciones de H a A , y considere la acción de H sobre sí mismo mediante multiplicación por la derecha. Esta acción se extiende naturalmente a una acción de H sobre K definida por dónde y g y h son tanto en H . Este es un automorfismo de K , por lo que podemos definir el producto semidirecto K ⋊ H llamado producto de corona regular , y denotado A Wr H oEl grupo K = A H (que es isomorfo a) se denomina grupo base del producto de corona.
El teorema de inclusión universal de Krasner-Kaloujnine establece que si G tiene un subgrupo normal A y H = G / A , entonces hay un homomorfismo inyectivo de grupos.de tal manera que un mapea surjectively en[2] Esto es equivalente al producto guirnalda A Wr H que tiene un subgrupo isomorfo a G , donde G es cualquier extensión de H por A .
Prueba
Esta prueba proviene de Dixon – Mortimer. [3]
Definir un homomorfismo cuyo núcleo es una . Elige un conjuntode los representantes de clase lateral (derecha) de A en G , dondeEntonces para todo x en G , Para cada x en G , definimos una función f x : H → A tal que Entonces la incrustación es dado por
Ahora demostramos que esto es un homomorfismo. Si x y y están en G , entonces Ahora así que para todos ustedes en H ,
entonces f x f y = f xy . Por eso es un homomorfismo como se requiere.
El homomorfismo es inyectivo. Sientonces f x ( u ) = f y ( u ) (para todo u ) y Luego pero podemos cancelar t u ydesde ambos lados, entonces x = y , por lo tantoes inyectable. Finalmente, precisamente cuando en otras palabras cuando (como ).
- El teorema de Krohn-Rhodes es un enunciado similar al teorema de incrustación universal, pero para semigrupos . Un semigrupo S es un divisor de un semigrupo T si es la imagen de un subgrupo de T bajo un homomorfismo. El teorema establece que todo semigrupo finito S es un divisor de una corona alterna finita producto de grupos finitos simples (cada uno de los cuales es un divisor de S ) y semigrupos aperiódicos finitos .
- Existe una versión alternativa del teorema que requiere solo un grupo G y un subgrupo A (no necesariamente normal). [4] En este caso, G es isomorfo a un subgrupo del producto de corona regular A Wr ( G / Core ( A )).
Referencias
- ^ Kaloujnine y Krasner (1951a) .
- ^ Dixon y Mortimer (1996 , p. 47).
- ^ Dixon y Mortimer (1996 , págs. 47–48).
- ^ Kaloujnine y Krasner (1951b) .
Bibliografía
- Dixon, John; Mortimer, Brian (1996). Grupos de permutación . Saltador. ISBN 978-0387945996.
- Kaloujnine, Lev; Krasner, Marc (1951a). "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes II" . Acta Sci. Matemáticas. Szeged . 14 : 39–66.
- Kaloujnine, Lev; Krasner, Marc (1951b). "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III" . Acta Sci. Matemáticas. Szeged . 14 : 69–82.
- Praeger, Cheryl; Schneider, Csaba (2018). Grupos de permutación y descomposiciones cartesianas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521675062.