Formulación de variable universal

En mecánica orbital , la formulación de variable universal es un método utilizado para resolver el problema de Kepler de dos cuerpos . Es una forma generalizada de la ecuación de Kepler , extendiéndolas para aplicarlas no solo a las órbitas elípticas , sino también a las órbitas parabólicas e hiperbólicas . Por tanto, es aplicable a muchas situaciones en el sistema solar , donde están presentes órbitas de excentricidades muy variables .

Introducción

Un problema común en la mecánica orbital es el siguiente: dado un cuerpo en una órbita y un tiempo t ₀ , encuentre la posición del cuerpo en cualquier otro tiempo t dado . Para órbitas elípticas con una excentricidad razonablemente pequeña , la resolución de la ecuación de Kepler con métodos como el de Newton da resultados adecuados. Sin embargo, a medida que la órbita se vuelve cada vez más excéntrica, la iteración numérica puede comenzar a converger lentamente o no converger en absoluto. ^{[1] [2]} Además, la ecuación de Kepler no se puede aplicar a órbitas parabólicas e hiperbólicas, ya que se adapta específicamente a las órbitas elípticas.

Derivación

Aunque se pueden derivar ecuaciones similares a la ecuación de Kepler para órbitas parabólicas e hiperbólicas , es más conveniente introducir una nueva variable independiente para tomar el lugar de la anomalía excéntrica E , y tener una sola ecuación que se pueda resolver independientemente de la excentricidad de la orbita. La nueva variable s se define mediante la siguiente ecuación diferencial :

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {1}{r}}}$

donde es la distancia dependiente del tiempo hasta el centro de atracción. La ecuación fundamental se regulariza aplicando este cambio de variables para obtener: ^[2]${\displaystyle r=r(t)}$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+\mu {\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}=\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}+\alpha \ \mathbf {r} =-\mathbf {P} }$

donde P es un vector constante y está definido por${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\mu }{a}}}$

La ecuación es la misma que la ecuación del oscilador armónico , una ecuación bien conocida tanto en física como en matemáticas . Tomando la derivada nuevamente, obtenemos una ecuación diferencial de tercer grado:

${\displaystyle {\frac {d^{3}\mathbf {r} }{ds^{3}}}+\alpha {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {0} }$

La familia de soluciones de esta ecuación diferencial ^[2] se escribe simbólicamente como las funciones donde las funciones , llamadas funciones Stumpff , son generalizaciones de funciones seno y coseno. La aplicación de esto da como resultado: ^[3]${\displaystyle 1,\ s\ c_{1}(\alpha s^{2}),\ s^{2}\ c_{2}(\alpha s^{2}),}$${\displaystyle \ c_{k}(x)}$

${\displaystyle t-t_{0}=r_{0}\ s\ c_{1}(\alpha s^{2})+r_{0}{\frac {dr_{0}}{dt}}\ s^{2}\ c_{2}(\alpha s^{2})+\mu \ s^{3}\ c_{3}(\alpha s^{2})}$

que es la formulación de variable universal de la ecuación de Kepler. Esta ecuación ahora se puede resolver numéricamente usando un algoritmo de búsqueda de raíces como el método de Newton o el método de Laguerre durante un tiempo dado para ceder , que a su vez se usa para calcular las funciones f y g :${\displaystyle t}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=1-\left({\frac {\mu }{r_{0}}}\right)s^{2}c_{2}(\alpha s^{2}),\\g(s)&=t-t_{0}-\mu s^{3}c_{3}(\alpha s^{2}),\\{\frac {df}{dt}}&={\dot {f}}(s)=-\left({\frac {\mu }{rr_{0}}}\right)sc_{1}(\alpha s^{2}),\\{\frac {dg}{dt}}&={\dot {g}}(s)=1-\left({\frac {\mu }{r}}\right)s^{2}c_{2}(\alpha s^{2})\end{aligned}}}$

Los valores de las funciones f y g determinan la posición del cuerpo en el momento :${\displaystyle t}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}\ f(s)+\mathbf {v} _{0}\ g(s)}$

Además, la velocidad del cuerpo en el momento se puede encontrar usando y de la siguiente manera:${\displaystyle t}$${\displaystyle {\dot {f}}(s)}$${\displaystyle {\dot {g}}(s)}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {r} _{0}\ {\dot {f}}(s)+\mathbf {v} _{0}\ {\dot {g}}(s)}$

donde y son la posición y la velocidad respectivamente en el tiempo , y y son la posición y la velocidad, respectivamente, en el tiempo inicial arbitrario .${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$${\displaystyle t_{0}}$

Referencias

1. Eduard L. Stiefel, Gerhard Scheifele (1971). Mecánica celeste lineal y regular. Métodos numéricos de movimiento de dos cuerpos perturbados Teoría canónica . Springer-Verlag.
2. Danby, JMA (1988). Fundamentos de la mecánica celeste (2ª ed.). Willmann-Bell. ISBN 0943396204.
3. Danby, JMA (1988). "Ecuación 6.9.26". Fundamentos de la mecánica celeste (2ª ed.). Willmann-Bell. ISBN 0943396204.