En geometría , los puntos de Napoleón son un par de puntos especiales asociados con un triángulo plano . En general, se cree que la existencia de estos puntos fue descubierta por Napoleón Bonaparte , el emperador de Francia de 1804 a 1815, pero muchos han cuestionado esta creencia. [1] Los puntos de Napoleón son centros de triángulos y se enumeran como los puntos X (17) y X (18) en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling .
El nombre "puntos de Napoleón" también se ha aplicado a un par diferente de centros de triángulos, más conocidos como puntos isodinámicos . [2]
Definición de los puntos
Primer punto de Napoleón
Sea ABC cualquier triángulo plano dado . En los lados BC , CA , AB del triángulo, construya triángulos equiláteros dibujados hacia afuera DBC , ECA y FAB respectivamente. Deje que los centroides de estos triángulos sean X , Y y Z respectivamente. Entonces las líneas AX , BY y CZ son concurrentes . El punto de coincidencia N1 es el primer punto de Napoleón, o el punto exterior de Napoleón, del triángulo ABC .
El triángulo XYZ se llama triángulo exterior de Napoleón del triángulo ABC . El teorema de Napoleón afirma que este triángulo es un triángulo equilátero .
En la Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling , el primer punto de Napoleón se denota con X (17). [3]
- Las coordenadas trilineales de N1:
- Las coordenadas baricéntricas de N1:
Segundo punto de Napoleón
Sea ABC cualquier triángulo plano dado . En los lados BC , CA , AB del triángulo, construya triángulos equiláteros dibujados hacia adentro DBC , ECA y FAB respectivamente. Deje que los centroides de estos triángulos sean X , Y y Z respectivamente. Entonces las líneas AX , BY y CZ son concurrentes. El punto de coincidencia N2 es el segundo punto de Napoleón, o el punto interior de Napoleón, del triángulo ABC .
El triángulo XYZ se llama triángulo interior de Napoleón del triángulo ABC . El teorema de Napoleón afirma que este triángulo es un triángulo equilátero.
En la Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling, el segundo punto de Napoleón se denota con X (18). [3]
- Las coordenadas trilineales de N2:
- Las coordenadas baricéntricas de N2:
Dos puntos estrechamente relacionados con los puntos de Napoleón son los puntos de Fermat-Torricelli (ETC's X13 y X14). Si en lugar de construir líneas que unen los centroides de los triángulos equiláteros a los vértices respectivos, ahora se construyen líneas que unen los ápices de los triángulos equiláteros a los vértices respectivos del triángulo, las tres líneas así construidas son nuevamente concurrentes. Los puntos de concurrencia se denominan puntos de Fermat-Torricelli, a veces denominados F1 y F2. La intersección de la línea de Fermat (es decir, la línea que une los dos puntos de Fermat-Torricelli) y la línea de Napoleón (es decir, la línea que une los dos puntos de Napoleón) es el punto simmediano del triángulo (X6 de ETC).
Generalizaciones
Los resultados sobre la existencia de los puntos de Napoleón se pueden generalizar de diferentes formas. Al definir los puntos de Napoleón, comenzamos con triángulos equiláteros dibujados en los lados del triángulo ABC y luego consideramos los centros X , Y y Z de estos triángulos. Estos centros pueden pensarse como los vértices de triángulos isósceles erigidos en los lados del triángulo ABC con ángulos de base iguales a π / 6 (30 grados). Las generalizaciones buscan determinar otros triángulos que, cuando se erigen sobre los lados del triángulo ABC , tienen líneas concurrentes que unen sus vértices externos y los vértices del triángulo ABC .
Triángulos isósceles
Esta generalización afirma lo siguiente: [4]
- Si los tres triángulos XBC, YCA y ZAB, construidos en los lados del triángulo dado ABC como bases, son similares , isósceles y están situados de manera similar, entonces las líneas AX, BY, CZ concurren en un punto N.
Si el ángulo de la base común es , entonces los vértices de los tres triángulos tienen las siguientes coordenadas trilineales.
Las coordenadas trilineales de N son
Algunos casos especiales son interesantes.
Valor de θ; El punto N 0 G , el centroide del triángulo ABC π / 2 (o - π / 2) O , el ortocentro del triángulo ABC π / 4 (o - π / 4) Los puntos de Vecten π / 6 N1, el primer punto de Napoleón (X17) - π / 6 N2, el segundo punto de Napoleón (X18) π / 3 F1, el primer punto Fermat – Torricelli (X13) - π / 3 F2, el segundo punto Fermat – Torricelli (X14) - A (si A < π / 2)
π - A (si A > π / 2)El vértice A - B (si B < π / 2)
π - B (si B > π / 2)El vértice B - C (si C < π / 2)
π - C (si C > π / 2)El vértice C
Además, el lugar geométrico de N como ángulo de basevaría entre - π / 2 y π / 2 es la cónica
Esta cónica es una hipérbola rectangular y se llama hipérbola de Kiepert en honor a Ludwig Kiepert (1846-1934), el matemático que descubrió este resultado. [4] Esta hipérbola es la única cónica que pasa por los cinco puntos A, B, C, G y O.
Triángulos similares
Los tres triángulos XBC , YCA , ZAB erigidos sobre los lados del triángulo ABC no necesitan ser isósceles para que las tres líneas AX , BY , CZ sean concurrentes. [5]
- Si los triángulos similares XBC, AYC, ABZ se construyen hacia afuera en los lados de cualquier triángulo ABC, entonces las líneas AX, BY y CZ son concurrentes.
Triángulos arbitrarios
La concurrencia de las líneas AX , BY y CZ se mantiene incluso en condiciones mucho más relajadas. El siguiente resultado indica una de las condiciones más generales para que las líneas AX , BY , CZ sean concurrentes. [5]
- Si los triángulos XBC, YCA, ZAB se construyen hacia afuera en los lados de cualquier triángulo ABC de manera que
- ∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,
- entonces las líneas AX, BY y CZ son concurrentes.
El punto de concurrencia se conoce como punto de Jacobi .
Historia
Coxeter y Greitzer establecen el teorema de Napoleón así: Si los triángulos equiláteros se erigen externamente en los lados de cualquier triángulo, sus centros forman un triángulo equilátero . Observan que Napoleón Bonaparte era un poco matemático con un gran interés por la geometría. Sin embargo, dudan de que Napoleón supiera suficiente geometría para descubrir el teorema que se le atribuye. [1]
La primera aparición registrada del resultado incorporado en el teorema de Napoleón se encuentra en un artículo de The Ladies 'Diary aparecido en 1825. El Ladies' Diary fue un periódico anual que estuvo en circulación en Londres desde 1704 hasta 1841. El resultado apareció como parte de un pregunta planteada por W. Rutherford, Woodburn.
- VII. Quest. (1439); por el Sr. W. Rutherford, Woodburn. " Describe triángulos equiláteros (los vértices son todos hacia afuera o hacia adentro) en los tres lados de cualquier triángulo ABC: entonces las líneas que unen los centros de gravedad de esos tres triángulos equiláteros constituirán un triángulo equilátero. Requiere una demostración " .
Sin embargo, no hay ninguna referencia a la existencia de los llamados puntos de Napoleón en esta pregunta. Christoph J. Scriba , un historiador alemán de las matemáticas , ha estudiado el problema de atribuir los puntos de Napoleón a Napoleón en un artículo de Historia Mathematica . [6]
Ver también
- Centro triangular
- Teorema de napoleón
- El problema de Napoleón
- Teorema de Van Aubel
- Punto de Fermat
Referencias
- ^ a b Coxeter, HSM; Greitzer, SL (1967). La geometría revisada . Asociación Matemática de América. págs. 61 –64.
- ^ Rigby, JF (1988). "Napoleón revisitado". Revista de geometría . 33 (1-2): 129-146. doi : 10.1007 / BF01230612 . Señor 0963992 . S2CID 189876799 .
- ^ a b Kimberling, Clark. "Enciclopedia de centros triangulares" . Consultado el 2 de mayo de 2012 .
- ^ a b Eddy, RH; Fritsch, R. (junio de 1994). "Las cónicas de Ludwig Kiepert: una lección completa en la geometría del triángulo" (PDF) . Revista de Matemáticas . 67 (3): 188–205. doi : 10.2307 / 2690610 . JSTOR 2690610 . Consultado el 26 de abril de 2012 .
- ^ a b de Villiers, Michael (2009). Algunas aventuras en geometría euclidiana . Aprendizaje dinámico de matemáticas. págs. 138–140. ISBN 9780557102952.
- ^ Scriba, Christoph J (1981). "¿Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen?" . Historia Mathematica . 8 (4): 458–459. doi : 10.1016 / 0315-0860 (81) 90054-9 .
Otras lecturas
- Stachel, Hellmuth (2002). "Teorema de Napoleón y generalizaciones a través de mapas lineales" (PDF) . Contribuciones al álgebra y la geometría . 43 (2): 433–444 . Consultado el 25 de abril de 2012 .
- Grünbaum, Branko (2001). "Un pariente del" teorema de Napoleón " " (PDF) . Geombinatoria . 10 : 116-121 . Consultado el 25 de abril de 2012 .
- Katrien Vandermeulen; et al. "Napoleón, ¿matemático?" . Matemáticas para Europa. Archivado desde el original el 30 de agosto de 2012 . Consultado el 25 de abril de 2012 .
- Bogomolny, Alexander . "Teorema de Napoleón" . ¡Corta el nudo! Una columna interactiva que utiliza subprogramas de Java . Consultado el 25 de abril de 2012 .
- "Thm de Napoleón y los puntos de Napoleón" . Archivado desde el original el 21 de enero de 2012 . Consultado el 24 de abril de 2012 .
- Weisstein, Eric W. "Puntos Napoleón" . De MathWorld — Un recurso web de Wolfram . Consultado el 24 de abril de 2012 .
- Philip LaFleur. "Teorema de Napoleón" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 7 de septiembre de 2012 . Consultado el 24 de abril de 2012 .
- Wetzel, John E. (abril de 1992). "Conversaciones del teorema de Napoleón" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de abril de 2014 . Consultado el 24 de abril de 2012 .