Múltiples
En matemáticas , una variedad es, en términos generales, una generalización teórica de la medida del concepto de una variedad diferenciable , al reemplazar los requisitos de diferenciabilidad con los proporcionados por conjuntos rectificables , mientras se mantiene la estructura algebraica general que generalmente se ve en la geometría diferencial . Los varifolds generalizan la idea de una corriente rectificable y se estudian en la teoría de la medida geométrica .
Los pliegues múltiples fueron introducidos por primera vez por Laurence Chisholm Young en ( Young 1951 ), bajo el nombre de " superficies generalizadas ". [1] [2] Frederick J. Almgren Jr. modificó ligeramente la definición en sus notas mimeografiadas ( Almgren 1965 ) y acuñó el nombre de variedad : quería enfatizar que estos objetos son sustitutos de las variedades ordinarias en problemas de cálculo de variaciones . [3] El enfoque moderno de la teoría se basó en las notas de Almgren [4] y fue establecido por William K. Allard , en el artículo ( Allard 1972 ).
Dado un subconjunto abierto del espacio euclidiano , un varifold m -dimensional se define como una medida de Radon en el conjunto
donde es el Grassmanniano de todos los subespacios lineales m -dimensionales de un espacio vectorial n -dimensional. El Grassmannian se utiliza para permitir la construcción de análogos a formas diferenciales como duales a campos vectoriales en el espacio tangente aproximado del conjunto .
El caso particular de un varifold rectificable son los datos de un m -conjunto rectificable M (que es medible con respecto a la m -medida de Hausdorff dimensional), y una función de densidad definida sobre M , que es una función positiva θ medible y localmente integrable con respecto a la m -medida de Hausdorff dimensional. Define una medida de Radon V en el paquete Grassmanniano de ℝ n
Los variadores rectificables son objetos más débiles que las corrientes rectificables localmente: no tienen ninguna orientación . Reemplazando M con conjuntos más regulares, uno ve fácilmente que las subvariedades diferenciables son casos particulares de variedades rectificables .