la identidad de vaughan

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En matemáticas y teoría analítica de números , la identidad de Vaughan es una identidad encontrada por RC Vaughan  ( 1977 ) que puede usarse para simplificar el trabajo de Vinogradov sobre sumas trigonométricas . Se puede utilizar para estimar funciones sumatorias de la forma

donde f es alguna función aritmética de los enteros naturales n , cuyos valores en las aplicaciones son a menudo raíces de la unidad, y Λ es la función de von Mangoldt .

La motivación para la construcción de su identidad por parte de Vaughan se analiza brevemente al comienzo del capítulo 24 en Davenport. Por ahora, omitiremos la mayoría de los detalles técnicos que motivan la identidad y su uso en las aplicaciones y, en su lugar, nos centraremos en la configuración de su construcción por partes. A partir de la referencia, construimos cuatro sumas distintas basadas en la expansión de la derivada logarítmica de la función zeta de Riemann en términos de funciones que son series parciales de Dirichlet truncadas respectivamente en los límites superiores de y , respectivamente. Más precisamente, definimos y , lo que nos lleva a la identidad exacta que${\ estilo de visualización U}$${\ estilo de visualización V}$${\displaystyle F(s)=\sum _{m\leq U}\Lambda (m)m^{-s}}$${\displaystyle G(s)=\sum _{d\leq V}\mu (d)d^{-s}}$

Luego definimos las funciones sumatorias correspondientes para ser${\ estilo de visualización 1 \ leq i \ leq 4}$

Finalmente, al final de un argumento de varias páginas de estimaciones técnicas ya veces delicadas de estas sumas, ^[1] obtenemos la siguiente forma de la identidad de Vaughan cuando asumimos que , y :${\ estilo de visualización | f (n) | \ leq 1, \ \ para todos los n}$${\displaystyle U,V\geq 2}$${\ Displaystyle UV \ leq N}$

Se observa que, en algunos casos, se pueden obtener estimaciones más precisas a partir de la identidad de Vaughan al tratar la suma de los componentes con más cuidado al expandirla en forma de${\ estilo de visualización S_ {2}}$

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