En matemáticas, el teorema de Veblen-Young , probado por Oswald Veblen y John Wesley Young ( 1908 , 1910 , 1917 ), establece que un espacio proyectivo de dimensión al menos 3 puede construirse como el espacio proyectivo asociado a un espacio vectorial sobre una división. anillo .
Los planos no desarguesianos dan ejemplos de espacios proyectivos bidimensionales que no surgen de espacios vectoriales sobre anillos de división, lo que demuestra que la restricción a la dimensión al menos 3 es necesaria.
Jacques Tits generalizó el teorema de Veblen-Young a los edificios de Tits , mostrando que los de rango al menos 3 surgen de grupos algebraicos .
John von Neumann ( 1998 ) generalizó el teorema de Veblen-Young a la geometría continua , mostrando que un retículo modular complementado de orden al menos 4 es isomorfo a los principales ideales rectos de un anillo regular de von Neumann .
Declaración
Un espacio proyectivo S se puede definir de manera abstracta como un conjunto P (el conjunto de puntos), junto con un conjunto L de subconjuntos de P (el conjunto de líneas), satisfaciendo estos axiomas:
- Cada dos puntos distintos p y q son exactamente en una línea.
- Axioma de Veblen: Si a , b , c , d son puntos distintos y las líneas que pasan por ab y cd se encuentran, entonces también lo hacen las líneas que pasan por ac y bd .
- Cualquier línea tiene al menos 3 puntos.
El teorema de Veblen-Young establece que si la dimensión de un espacio proyectivo es al menos 3 (lo que significa que hay dos líneas que no se cruzan), entonces el espacio proyectivo es isomorfo con el espacio proyectivo de líneas en un espacio vectorial sobre algún anillo de división K .
Referencias
- Cameron, Peter J. (1992), espacios proyectivos y polares , QMW Maths Notes, 13 , Londres: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, ISBN 978-0-902480-12-4, MR 1153019
- Veblen, Oswald ; Young, John Wesley (1908), "Un conjunto de supuestos para la geometría proyectiva", American Journal of Mathematics , 30 (4): 347–380, doi : 10.2307 / 2369956 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2369956 , MR 1506049
- Veblen, Oswald ; Young, John Wesley (1910), Geometría proyectiva Volumen I , Ginn and Co., Boston, ISBN 978-1-4181-8285-4, MR 0179666
- Veblen, Oswald ; Young, John Wesley (1917), Geometría proyectiva Volumen II , Ginn and Co., Boston, ISBN 978-1-60386-062-8, MR 0179667
- von Neumann, John (1998) [1960], Geometría continua , Puntos de referencia en matemáticas de Princeton , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05893-1, MR 0120174