En matemáticas , un anillo de ideal principal derecho (a la izquierda) es un anillo R en la que cada derecha (izquierda) ideal es de la forma xR ( Rx ) para un elemento x de R . (Los ideales de derecha e izquierda de esta forma, generados por un elemento, se denominan ideales principales ). Cuando esto se satisface tanto para los ideales de izquierda como de derecha, como en el caso de que R es un anillo conmutativo , R puede llamarse ideal principal anillo , o simplemente anillo principal .
Si solo los ideales correctos de R generados finitamente son principales, entonces R se llama anillo de Bézout derecho . Los anillos de Bézout izquierdos se definen de manera similar. Estas condiciones se estudian en dominios como dominios de Bézout .
Un anillo ideal principal conmutativo que también es un dominio integral se dice que es un dominio ideal principal (PID). En este artículo, la atención se centra en el concepto más general de un anillo ideal principal que no es necesariamente un dominio.
Propiedades generales
Si R es un anillo ideal principal derecho, entonces ciertamente es un anillo noetheriano correcto , ya que todo ideal correcto se genera finitamente. También es un anillo de Bézout de derecha, ya que todos los ideales de derecha generados de forma finita son principales. De hecho, está claro que los principales anillos ideales derechos son exactamente los anillos que son tanto Bézout correcto como Noetheriano correcto.
Los anillos ideales principales derechos se cierran bajo productos directos finitos . Si, entonces cada ideal correcto de R es de la forma, donde cada es un ideal correcto de R i . Si todos los R i son anillos ideales rectos principales, entonces A i = x i R i , y entonces se puede ver que. Sin mucho más esfuerzo, se puede demostrar que los anillos Bézout derechos también se cierran bajo productos directos finitos.
Los anillos ideales rectos principales y los anillos de Bézout rectos también se cierran bajo cocientes, es decir, si I es un ideal propio del anillo ideal derecho principal R , entonces el anillo cociente R / I también es el anillo ideal derecho principal. Esto se desprende fácilmente de los teoremas del isomorfismo para anillos.
Todas las propiedades anteriores también han dejado análogos.
Ejemplos conmutativos
1. El anillo de números enteros :
2. Los números enteros módulo n :.
3. Deje ser anillos y . Entonces R es un anillo principal si y solo si R i es un anillo principal para todo i .
4. La localización de un anillo principal en cualquier subconjunto multiplicativo es nuevamente un anillo principal. De manera similar, cualquier cociente de un anillo principal es nuevamente un anillo principal.
5. Sea R un dominio de Dedekind y yo un ideal de R distinto de cero . Entonces el cociente R / I es un anillo principal. De hecho, podemos factorizar I como un producto de los poderes primos:, y por el teorema del resto chino , por lo que basta con ver que cada es un anillo principal. Pero es isomorfo al cociente del anillo de valoración discreto y, siendo un cociente de un anillo principal, es en sí mismo un anillo principal.
6. Sea k un campo finito y ponga, y . Entonces R es un anillo local finito que no es principal.
7. Sea X un conjunto finito. Luego forma un anillo ideal principal conmutativo con unidad, donde representa la diferencia simétrica establecida yrepresenta la powerset de X . Si X tiene al menos dos elementos, entonces el anillo también tiene cero divisores. Si soy un ideal, entonces. Si, en cambio, X es infinito, el anillo no es principal: tome el ideal generado por los subconjuntos finitos de X , por ejemplo.
Teoría de la estructura para PIR conmutativos
Los anillos principales construidos en el Ejemplo 5 anterior son siempre anillos Artinianos ; en particular, son isomorfos a un producto directo finito de los principales anillos locales artinianos. Un anillo principal artiniano local se denomina anillo principal especial y tiene una estructura ideal extremadamente simple: solo hay un número finito de ideales, cada uno de los cuales es un poder del ideal máximo. Por esta razón, los anillos principales especiales son ejemplos de anillos uniseriales .
El siguiente resultado proporciona una clasificación completa de los anillos principales en términos de anillos principales especiales y dominios ideales principales.
Teorema de Zariski-Samuel : Sea R un anillo principal. Entonces R se puede escribir como un producto directo, donde cada R i es un dominio ideal principal o un anillo principal especial.
La demostración aplica el teorema del residuo chino a una descomposición primaria mínima del ideal cero.
También existe el siguiente resultado, debido a Hungerford:
Teorema (Hungerford): Sea R un anillo principal. Entonces R se puede escribir como un producto directo, Donde cada R i es un cociente de un dominio de ideales principales.
La prueba del teorema de Hungerford emplea los teoremas de estructura de Cohen para anillos locales completos.
Argumentando como en el ejemplo 3 anterior y usando el teorema de Zariski-Samuel, es fácil comprobar que el teorema de Hungerford es equivalente al enunciado de que cualquier anillo principal especial es el cociente de un anillo de valoración discreto.
Ejemplos no conmutativos
Todo anillo semisimple R que no es solo un producto de campos es un dominio ideal principal derecho e izquierdo no conmutativo. Cada derecho e izquierdo ideal es un sumando directo de R , y también lo es de la forma eR o Re , donde e es un idempotente de R . Paralelamente a este ejemplo, se ve que los anillos regulares de von Neumann son anillos de Bézout tanto derecho como izquierdo.
Si D es un anillo de división yes un endomorfismo de anillo que no es un automorfismo , entonces el anillo polinomial sesgado se sabe que es un dominio ideal izquierdo principal que no es noetheriano derecho, y por lo tanto no puede ser un anillo ideal derecho principal. Esto muestra que incluso para los dominios, los anillos ideales principal izquierdo y principal derecho son diferentes. ( Lam y 2001, p.21 )
Referencias
- T. Hungerford , Sobre la estructura de los anillos ideales principales , Pacific J. Math. 25 1968 543—547.
- Lam, TY (2001), A first course in non conmutative rings , Graduate Texts in Mathematics, 131 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. Xx + 385, ISBN 0-387-95183-0, Señor 1838439
- Páginas 86 y 146-155 de Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- Zariski, O .; Samuel, P. (1975), álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, 28, 29, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag