Nota: esta página utiliza la notación física común para coordenadas esféricas, en las que es el ángulo entre el eje z y el vector de radio que conecta el origen con el punto en cuestión, mientras quees el ángulo entre la proyección del vector de radio sobre el plano xy y el eje x . Se están utilizando varias otras definiciones, por lo que se debe tener cuidado al comparar diferentes fuentes. [1]
Coordenadas esféricas (
r ,
θ ,
φ ) como se usan comúnmente en
física : distancia radial
r , ángulo polar
θ (
theta ) y ángulo azimutal
φ (
phi ). El símbolo
ρ (
rho ) se usa a menudo en lugar de
r .
Campos vectoriales
Los vectores se definen en coordenadas cilíndricas mediante ( ρ , φ , z ), donde
- ρ es la longitud del vector proyectado sobre el plano xy ,
- φ es el ángulo entre la proyección del vector sobre el plano xy (es decir, ρ ) y el eje x positivo (0 ≤ φ <2 π ),
- z es la coordenada z regular .
( ρ , φ , z ) viene dado en coordenadas cartesianas por:
o inversamente por:
Cualquier campo vectorial se puede escribir en términos de vectores unitarios como:
Los vectores unitarios cilíndricos están relacionados con los vectores unitarios cartesianos por:
Nota: la matriz es una matriz ortogonal , es decir, su inversa es simplemente su transpuesta .
Derivada de tiempo de un campo vectorial
Para averiguar cómo cambia el campo vectorial A en el tiempo, calculamos las derivadas del tiempo. Para este propósito usamos la notación de Newton para la derivada del tiempo (). En coordenadas cartesianas esto es simplemente:
Sin embargo, en coordenadas cilíndricas esto se convierte en:
Necesitamos las derivadas en el tiempo de los vectores unitarios. Están dados por:
Entonces, la derivada del tiempo se simplifica a:
Derivada por segunda vez de un campo vectorial
La segunda derivada del tiempo es de interés en física , ya que se encuentra en ecuaciones de movimiento para sistemas mecánicos clásicos . La segunda derivada temporal de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas viene dada por:
Para entender esta expresión, sustituimos A = P , donde P es el vector ( ρ , θ , z ).
Esto significa que .
Después de sustituir obtenemos:
En mecánica, los términos de esta expresión se denominan:
Campos vectoriales
Los vectores se definen en coordenadas esféricas por ( r , θ , φ ), donde
- r es la longitud del vector,
- θ es el ángulo entre el eje Z positivo y el vector en cuestión (0 ≤ θ ≤ π ), y
- φ es el ángulo entre la proyección del vector sobre el plano xy y el eje X positivo (0 ≤ φ <2 π ).
( r , θ , φ ) viene dado en coordenadas cartesianas por:
o inversamente por:
Cualquier campo vectorial se puede escribir en términos de vectores unitarios como:
Los vectores unitarios esféricos están relacionados con los vectores unitarios cartesianos por:
Nota: la matriz es una matriz ortogonal , es decir, su inversa es simplemente su transpuesta .
Entonces, los vectores unitarios cartesianos están relacionados con los vectores unitarios esféricos por:
Derivada de tiempo de un campo vectorial
Para averiguar cómo cambia el campo vectorial A en el tiempo, calculamos las derivadas del tiempo. En coordenadas cartesianas esto es simplemente:
Sin embargo, en coordenadas esféricas esto se convierte en:
Necesitamos las derivadas en el tiempo de los vectores unitarios. Están dados por:
Entonces la derivada del tiempo se convierte en: