En matemáticas , el flujo vectorial se refiere a un conjunto de conceptos estrechamente relacionados del flujo determinados por un campo vectorial . Estos aparecen en varios contextos diferentes, incluida la topología diferencial , la geometría de Riemann y la teoría de grupos de Lie . Estos conceptos relacionados se exploran en una variedad de artículos:
Flujo vectorial en topología diferencial
Conceptos relevantes: (caudal, generador infinitesimal, curva integral, campo vectorial completo)
Sea V un campo vectorial uniforme en una variedad M uniforme . Hay un máximo único flujo D → M cuyo generador infinitesimal es V . Aquí D ⊆ R × M es el dominio de flujo . Para cada p ∈ M el mapa D p → M es la única curva integral máxima de V que comienza en p .
Un flujo global es aquel cuyo dominio de flujo es todo de R × M . Los flujos globales definen acciones lisas de R en M . Un campo vectorial está completo si genera un flujo global. Cada campo vectorial uniforme en un colector compacto sin límite está completo.
Flujo vectorial en geometría riemanniana
Conceptos relevantes: (geodésico, mapa exponencial, radio de inyectividad)
El mapa exponencial
- exp: T p M → M
se define como exp ( X ) = γ (1) donde γ: I → M es el paso geodésica única a través de p a 0 y cuyo vector tangente a 0 es X . Aquí I es el intervalo abierto máximo de R para el que se define la geodésica.
Deje que M sea una variedad pseudoriemanniana (o cualquier colector con una conexión affine ) y dejar que p sea un punto en M . Entonces, para cada V en T p M existe una γ geodésica única: I → M para la cual γ (0) = p yDeje D p sea el subconjunto de T p M para los que 1 se encuentra en I .
Flujo vectorial en la teoría de grupos de Lie
Conceptos relevantes: (mapa exponencial, generador infinitesimal, grupo de un parámetro)
Cada campo vectorial invariante a la izquierda en un grupo de Lie está completo. La curva integral que comienza en la identidad es un subgrupo de G de un parámetro . Hay correspondencias uno a uno
- {subgrupos con un parámetro de G } ⇔ {campos de vectores que dejan invariante en G } ⇔ g = T e G .
Sea G un grupo de Lie yg su álgebra de Lie. El mapa exponencial es un exp mapa: g → G dado por exp ( X ) = γ (1) donde γ es la curva integral a partir de la identidad en G generada por X .
- El mapa exponencial es suave.
- Para una fija X , el mapa t ↦ exp ( tX ) es el subgrupo con un parámetro de G generada por X .
- El mapa exponencial restringe a un difeomorfismo de algún entorno de 0 en g de un barrio de e en G .
- La imagen del mapa exponencial siempre radica en el componente conectado de la identidad de G .