Se han utilizado varias convenciones para definir el VSH. [1] [2] [3] [4] [5] Seguimos el de Barrera et al. . Dado un armónico esférico escalar Y lm ( θ , φ ) , definimos tres VSH:
con siendo el vector unitario a lo largo de la dirección radial en coordenadas esféricas y el vector a lo largo de la dirección radial con la misma norma que el radio, es decir, . Los factores radiales se incluyen para garantizar que las dimensiones del VSH sean las mismas que las de los armónicos esféricos ordinarios y que el VSH no dependa de la coordenada esférica radial.
El interés de estos nuevos campos vectoriales es separar la dependencia radial de la angular cuando se utilizan coordenadas esféricas, de modo que un campo vectorial admita una expansión multipolar.
Las etiquetas de los componentes reflejan que es el componente radial del campo vectorial, mientras que y son componentes transversales (con respecto al vector de radio ).
Simetría
Al igual que los armónicos esféricos escalares, el VSH satisface
que reduce el número de funciones independientes aproximadamente a la mitad. La estrella indica conjugación compleja .
Ortogonalidad
Los VSH son ortogonales en la forma tridimensional habitual en cada punto:
También son ortogonales en el espacio de Hilbert:
Un resultado adicional en un solo punto (no reportado en Barrera et al, 1985) es, para todos ,
Momentos multipolares vectoriales
Las relaciones de ortogonalidad permiten calcular los momentos multipolares esféricos de un campo vectorial como
El gradiente de un campo escalar.
Dada la expansión multipolar de un campo escalar
podemos expresar su gradiente en términos de VSH como
Divergencia
Para cualquier campo multipolar tenemos
Por superposición obtenemos la divergencia de cualquier campo vectorial:
Vemos que el componente en Φ lm siempre es solenoide .
Rizo
Para cualquier campo multipolar tenemos
Por superposición obtenemos el rizo de cualquier campo vectorial:
Laplaciano
La acción del operador de Laplace se separa de la siguiente manera:
dónde y
También tenga en cuenta que esta acción se vuelve simétrica , es decir, los coeficientes fuera de la diagonal son iguales a, para VSH correctamente normalizado .
Primeros armónicos esféricos vectoriales
- .
- .
- .
Las expresiones para valores negativos de m se obtienen aplicando las relaciones de simetría.
Electrodinámica
Los VSH son especialmente útiles en el estudio de campos de radiación multipolares . Por ejemplo, un multipolo magnético se debe a una corriente oscilante con frecuencia angular y amplitud compleja
y los campos eléctricos y magnéticos correspondientes, se pueden escribir como
Sustituyendo en las ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss se satisface automáticamente
mientras que la ley de Faraday se desacopla como
La ley de Gauss para el campo magnético implica
y la ecuación de Ampère-Maxwell da
De esta forma, las ecuaciones diferenciales parciales se han transformado en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Definición alternativa
Parte angular de armónicos esféricos vectoriales magnéticos y eléctricos. Las flechas rojas y verdes muestran la dirección del campo. También se presentan funciones escalares generadoras, solo se muestran los tres primeros órdenes (dipolos, cuadrupolos, octopolos).
En muchas aplicaciones, los armónicos esféricos vectoriales se definen como un conjunto fundamental de las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas. [6] [7]
En este caso, los armónicos esféricos vectoriales son generados por funciones escalares, que son soluciones de la ecuación escalar de Helmholtz con el vector de onda. .
aquí - polinomios de Legendre asociados , y- cualquiera de las funciones esféricas de Bessel .
Los armónicos esféricos vectoriales se definen como:
- - armónicos longituales
- - armónicos magnéticos
- - armónicos eléctricos
Aquí usamos la parte angular de valor real de armónicos, donde , pero se pueden introducir funciones complejas de la misma manera.
Introducimos la notación . En la forma de componentes, los armónicos esféricos vectoriales se escriben como:
No hay una parte radial para armónicos magnéticos. Para armónicos eléctricos, la parte radial disminuye más rápido que la angular, y para grandespuede descuidarse. También podemos ver que para armónicos eléctricos y magnéticos las partes angulares son las mismas hasta la permutación de los vectores unitarios polares y azimutales, por lo que para grandes los vectores armónicos eléctricos y magnéticos son iguales en valor y perpendiculares entre sí.
Armónicos longituales:
Ortogonalidad
Las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz obedecen a las siguientes relaciones de ortogonalidad: [7]
Todas las demás integrales sobre los ángulos entre diferentes funciones o funciones con diferentes índices son iguales a cero.
Rotación e inversión
Ilustración de la transformación de armónicos esféricos vectoriales bajo rotaciones. Se puede ver que se transforman de la misma forma que las funciones escalares correspondientes.
En rotación, los armónicos esféricos vectoriales se transforman entre sí de la misma manera que las funciones esféricas escalares correspondientes , que se generan para un tipo específico de armónicos vectoriales. Por ejemplo, si las funciones generadoras son los armónicos esféricos habituales , entonces los armónicos vectoriales también se transformarán a través de las matrices D de Wigner [8] [9] [10]
El comportamiento bajo rotaciones es el mismo para armónicos eléctricos, magnéticos y longitudinales.
Bajo inversión, los armónicos esféricos eléctricos y longitudinales se comportan de la misma manera que las funciones esféricas escalares, es decir
y los magnéticos tienen la paridad opuesta:
Dinámica de fluidos
En el cálculo de la ley de Stokes para el arrastre que ejerce un fluido viscoso sobre una pequeña partícula esférica, la distribución de velocidades obedece a las ecuaciones de Navier-Stokes despreciando la inercia, es decir,
con las condiciones de contorno
donde U es la velocidad relativa de la partícula al fluido lejos de la partícula. En coordenadas esféricas, esta velocidad en el infinito se puede escribir como
La última expresión sugiere una expansión en armónicos esféricos para la velocidad del líquido y la presión.
La sustitución en las ecuaciones de Navier-Stokes produce un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para los coeficientes.
Aquí se utilizan las siguientes definiciones:
En caso de que en lugar de son funciones de bessel esféricas , con la ayuda de la expansión de onda plana se pueden obtener las siguientes relaciones integrales: [11]
En caso, cuando son funciones esféricas de Hankel, se deben usar las diferentes fórmulas. [12] [11] Para armónicos esféricos vectoriales se obtienen las siguientes relaciones:
dónde , índice significa que se utilizan funciones esféricas de Hankel.