El término vector de dirección se usa para describir un vector unitario que se usa para representar la dirección espacial, y tales cantidades se denotan comúnmente como d ; Las direcciones espaciales 2D representadas de esta manera son numéricamente equivalentes a puntos en el círculo unitario . La misma construcción se utiliza para especificar direcciones espaciales en 3D, que son equivalentes a un punto en la esfera unitaria .
Ejemplos de dos vectores de dirección 2D
Ejemplos de dos vectores de dirección 3D
El vector normalizado û de un vector u distinto de cero es el vector unitario en la dirección de u , es decir,
donde | u | es la norma (o longitud) de u . [1] [2] El término vector normalizado se utiliza a veces como sinónimo de vector unitario .
Los vectores unitarios a menudo se eligen para formar la base de un espacio vectorial, y cada vector en el espacio puede escribirse como una combinación lineal de vectores unitarios.
Los vectores unitarios se pueden utilizar para representar los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano . Por ejemplo, los vectores unitarios estándar en la dirección de los ejes x , y y z de un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional son
A menudo se denotan usando la notación de vector común (por ejemplo, i o ) en lugar de la notación unidad vector estándar (por ejemplo, ). En la mayoría de los contextos, se puede suponer que i , j y k (o y ) son versadores de un sistema de coordenadas cartesiano 3-D. Las notaciones , , , o , con o sin sombrero , se utilizan también, [1] en particular en contextos donde i , j , k podría dar lugar a confusión con otra cantidad (por ejemplo, con índice de símbolos tales como i , j ,k , que se utilizan para identificar un elemento de un conjunto o matriz o secuencia de variables).
Cuando un vector unitario en el espacio se expresa en notación cartesiana como una combinación lineal de i , j , k , sus tres componentes escalares pueden denominarse cosenos de dirección . El valor de cada componente es igual al coseno del ángulo formado por el vector unitario con el vector base respectivo. Este es uno de los métodos utilizados para describir la orientación (posición angular) de una línea recta, segmento de línea recta, eje orientado o segmento de eje orientado ( vector ).
Los tres vectores unitarios ortogonales apropiados para la simetría cilíndrica son:
(también designado o ), que representa la dirección a lo largo de la cual se mide la distancia entre el punto y el eje de simetría;
, que representa la dirección del movimiento que se observaría si el punto girara en sentido antihorario sobre el eje de simetría ;
, que representa la dirección del eje de simetría;
Se relacionan con la base cartesiana , , por:
Los vectores y son funciones de y no son constantes en dirección. Al diferenciar o integrar en coordenadas cilíndricas, estos vectores unitarios también deben ser operados. Las derivadas con respecto a son:
Coordenadas esféricas
Los vectores unitarios apropiados para la simetría esférica son:, la dirección en la que aumenta la distancia radial desde el origen; , la dirección en la que el ángulo en el plano x - y en sentido antihorario desde el eje x positivo está aumentando; y la dirección en la que aumenta el ángulo desde el eje z positivo . Para minimizar la redundancia de representaciones, generalmente se considera que el ángulo polar se encuentra entre cero y 180 grados. Es especialmente importante tener en cuenta el contexto de cualquier triplete ordenado escrito en coordenadas esféricas , ya que los roles de y a menudo se invierten. Aquí, la convención estadounidense de "física" [3]se utiliza. Esto deja el ángulo azimutal definido igual que en coordenadas cilíndricas. Las relaciones cartesianas son:
Los vectores unitarios esféricos dependen de ambos y , por lo que hay 5 posibles derivadas distintas de cero. Para obtener una descripción más completa, consulte Matriz jacobiana y determinante . Las derivadas distintas de cero son:
Vectores de unidad general
Artículo principal: coordenadas ortogonales
Los temas comunes de los vectores unitarios ocurren a lo largo de la física y la geometría : [4]
Vector unitario
Nomenclatura
Diagrama
Vector tangente a una curva / línea de flujo
Es necesario un vector normal al plano que contiene y define el vector de posición radial y la dirección de rotación tangencial angular para que se mantengan las ecuaciones vectoriales de movimiento angular.
Normal a un plano / plano tangente de superficie que contiene un componente de posición radial y un componente tangencial angular
En términos de coordenadas polares ;
Vector binormal a tangente y normal
[5]
Paralelo a algún eje / línea
Un vector unitario alineado paralelo a una dirección principal (línea roja), y un vector unitario perpendicular está en cualquier dirección radial con respecto a la línea principal.
Perpendicular a algún eje / línea en alguna dirección radial
Posible desviación angular relativa a algún eje / línea
Vector unitario en un ángulo de desviación aguda φ (incluido 0 o π / 2 rad) con respecto a una dirección principal.
Coordenadas curvilíneas
En general, un sistema de coordenadas puede especificarse unívocamente utilizando un número de vectores unitarios linealmente independientes [1] (el número real es igual a los grados de libertad del espacio). Para el espacio tridimensional ordinario, estos vectores se pueden denotar . Casi siempre es conveniente definir el sistema como ortonormal y diestro :
donde es el delta de Kronecker (que es 1 para i = j , y 0 en caso contrario) y es el símbolo Levi-Civita (que es 1 para permutaciones ordenadas como ijk y -1 para permutaciones ordenadas como kji ).
Versor derecho
Un vector unitario en fue llamado versor derecho por WR Hamilton , mientras desarrollaba sus cuaterniones . De hecho, fue el creador del término vector , ya que cada cuaternión tiene una parte escalar sy una parte vectorial v . Si v es un vector unitario en , entonces el cuadrado de v en cuaterniones es –1. Por lo tanto, según la fórmula de Euler , es un versor en la 3-esfera . Cuando θ es un ángulo recto , el versor es un versor recto: su parte escalar es cero y su parte vectorial ves un vector unitario en .
Ver también
Busque vector unitario en Wiktionary, el diccionario gratuito.
sistema de coordenadas Cartesianas
Sistema coordinado
Coordenadas curvilíneas
Cuatro velocidades
Matriz jacobiana y determinante
Vector normal
Sistema de coordenadas polares
Base estándar
Intervalo unitario
Unidad de cuadrado , cubo , círculo , esfera e hipérbola
Notación vectorial
Vector de unos
Notas
^ a b c Weisstein, Eric W. "Vector de unidad" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
^ "Vectores unitarios | Wiki brillante de matemáticas y ciencias" . shiny.org . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
^ Tevian Dray y Corinne A. Manogue, coordenadas esféricas, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
^ F. Ayres; E. Mendelson (2009). Cálculo (Serie de esquemas de Schaum) (5ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
^ MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (Serie de esquemas de Schaum) (2ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
Referencias
GB Arfken y HJ Weber (2000). Métodos matemáticos para físicos (5ª ed.). Prensa académica. ISBN 0-12-059825-6.
Spiegel, Murray R. (1998). Esquemas de Schaum: Manual matemático de fórmulas y tablas (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.