En matemáticas , las fórmulas de Vieta son fórmulas que relacionan los coeficientes de un polinomio con las sumas y productos de sus raíces . El nombre de François Viète (más comúnmente conocido por la forma latinizada de su nombre, "Franciscus Vieta"), las fórmulas se utilizan específicamente en álgebra .
Fórmulas básicas
Cualquier polinomio general de grado n
(siendo los coeficientes números reales o complejos y un n ≠ 0 ) es conocido por el teorema fundamental del álgebra que tiene n raíces complejas (no necesariamente distintas) r 1 , r 2 , ..., r n . Las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes del polinomio con las sumas con signo de los productos de las raíces r 1 , r 2 , ..., r n de la siguiente manera:
Las fórmulas de Vieta se pueden escribir de manera equivalente como
para k = 1, 2, ..., n (los índices i k se ordenan en orden creciente para garantizar que cada producto de k raíces se use exactamente una vez).
Los lados izquierdos de las fórmulas de Vieta son las funciones simétricas elementales de las raíces.
Generalización a anillos
Fórmulas de Vieta se utilizan con frecuencia con polinomios con coeficientes en cualquier dominio integral R . Entonces, los cocientespertenecen al anillo de fracciones de R (y posiblemente están en el mismo R sipasa a ser invertible en R ) y las raícesse toman en una extensión algebraicamente cerrada . Normalmente, R es el anillo de los números enteros , el campo de las fracciones es el campo de los números racionales y el campo algebraicamente cerrado es el campo de los números complejos .
Las fórmulas de Vieta son útiles porque proporcionan relaciones entre las raíces sin tener que calcularlas.
Para polinomios sobre un anillo conmutativo que no es un dominio integral, las fórmulas de Vieta solo son válidas cuando es un divisor distinto de cero y factores como . Por ejemplo, en el anillo de los números enteros módulo 8, el polinomio tiene cuatro raíces: 1, 3, 5 y 7. Las fórmulas de Vieta no son verdaderas si, digamos, y , porque . Sin emabargo, factoriza como y como , y las fórmulas de Vieta se mantienen si establecemos y o y .
Ejemplo
Fórmulas de Vieta aplicadas a polinomios cuadráticos y cúbicos:
Las raices del polinomio cuadrático satisfacer
La primera de estas ecuaciones se puede utilizar para encontrar el mínimo (o máximo) de P ; ver ecuación cuadrática § fórmulas de Vieta .
Las raices del polinomio cúbico satisfacer
Prueba
Las fórmulas de Vieta se pueden probar ampliando la igualdad
(que es cierto desde son todas las raíces de este polinomio), multiplicando los factores del lado derecho e identificando los coeficientes de cada potencia de
Formalmente, si uno se expande los términos son precisamente dónde es 0 o 1, de acuerdo con si está incluido en el producto o no, y k es el número deque están excluidos, por lo que el número total de factores en el producto es n (contandocon multiplicidad k ) - ya que hay n opciones binarias (incluyao x ), haytérminos: geométricamente, estos pueden entenderse como los vértices de un hipercubo. Agrupar estos términos por grado produce los polinomios simétricos elementales en- para x k , todos los distintos productos k -fold de
Como ejemplo, considere la cuadrática . Comparando poderes idénticos de, encontramos , y , con el que podemos, por ejemplo, identificarnos y , que son las fórmulas de Vieta para .
Historia
Como se refleja en el nombre, las fórmulas fueron descubiertas por el matemático francés del siglo XVI François Viète , para el caso de las raíces positivas.
En opinión del matemático británico del siglo XVIII Charles Hutton , citado por Funkhouser, [1] el principio general (no solo para las raíces reales positivas) fue entendido por primera vez por el matemático francés del siglo XVII Albert Girard :
... [Girard fue] la primera persona que entendió la doctrina general de la formación de los coeficientes de las potencias a partir de la suma de las raíces y sus productos. Fue el primero en descubrir las reglas para sumar las potencias de las raíces de cualquier ecuación.
Ver también
Referencias
- ↑ ( Funkhouser 1930 )
- "Teorema de Viète" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Funkhouser, H. Gray (1930), "Una breve descripción de la historia de las funciones simétricas de las raíces de las ecuaciones", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi : 10.2307 / 2299273 , JSTOR 2299273
- Vinberg, EB (2003), Un curso de álgebra , American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-3413-4
- Djukić, Dušan; et al. (2006), El compendio de la OMI: una colección de problemas sugeridos para las Olimpíadas Matemáticas Internacionales, 1959-2004 , Springer, Nueva York, NY, ISBN 0-387-24299-6