En álgebra abstracta , el anillo del cociente total , [1] o anillo total de fracciones , [2] es una construcción que generaliza la noción del campo de fracciones de un dominio integral a anillos conmutativos R que pueden tener cero divisores . La construcción incrusta R en un anillo más grande, dando a cada divisor distinto de cero de R un inverso en el anillo más grande. Si el homomorfismo de R al nuevo anillo debe ser inyectivo, no se puede dar una inversa a ningún otro elemento.
Sea un anillo conmutativo y sea el conjunto de elementos que no son divisores de cero en ; entonces es un conjunto multiplicativamente cerrado . Por tanto, podemos localizar el anillo en el conjunto para obtener el anillo del cociente total .
Si es un dominio , entonces y el anillo del cociente total es el mismo que el campo de fracciones. Esto justifica la notación , que a veces también se usa para el campo de las fracciones, ya que no hay ambigüedad en el caso de un dominio.
Dado que en la construcción no contiene divisores de cero, el mapa natural es inyectivo, por lo que el anillo del cociente total es una extensión de .
Hay un hecho importante:
Proposición - Sea A un anillo reducido noetheriano con los ideales primos mínimos . Luego
Geométricamente, es el esquema artiniano que consiste (como un conjunto finito) de los puntos genéricos de los componentes irreductibles de .
Prueba: Cada elemento de Q ( A ) es una unidad o un divisor cero. Por lo tanto, cualquier ideal ideal I de Q ( A ) debe constar de zerodivisores. Dado que el conjunto de zerodivisors de Q ( A ) es la unión de los ideales mínimos primos como Q ( A ) es reducido , por evitación prime , I debe estar contenido en alguna . Por tanto, los ideales son los ideales máximos de Q ( A ), cuya intersección es cero. Por tanto, según el teorema del resto chino aplicado aP ( A ), tenemos:
Finalmente, es el campo de residuos de . De hecho, escribiendo S para el conjunto multiplicativamente cerrado de no zerodivisores, por la exactitud de la localización,
que ya es un campo y también debe serlo .
Si es un anillo conmutativo y es cualquier conjunto multiplicativa cerrado en , la localización todavía se puede construir, pero el homomorfismo de anillos de a podría no ser inyectiva. Por ejemplo, si , entonces es el anillo trivial.