Fractal de Vicsek

En matemáticas el fractal de Vicsek , también conocido como copo de nieve de Vicsek o fractal de caja , ^[1]^[2] es un fractal que surge de una construcción similar a la de la alfombra de Sierpinski , propuesta por Tamás Vicsek . Tiene aplicaciones que incluyen antenas compactas , particularmente en teléfonos celulares.

Fractal de Vicsek (quinta iteración de la forma cruzada)

Variante ^[3]

6 pasos de una alfombra Sierpinski

Fractal auto-afín construido a partir de una cuadrícula de

3 \times 2

Fractal de caja también se refiere a varios fractales iterados creados por una cuadrícula cuadrada o rectangular con varias cajas eliminadas o ausentes y, en cada iteración, los presentes y / o ausentes tienen la imagen anterior reducida y dibujada dentro de ellos. El triángulo de Sierpinski puede aproximarse mediante un fractal de caja de $2 \times 2$ con una esquina eliminada. La alfombra de Sierpinski es un fractal de caja de $3 \times 3$ con el cuadrado del medio eliminado.

Construcción

El cuadrado básico se descompone en nueve cuadrados más pequeños en la cuadrícula de 3 por 3. Se dejan los cuatro cuadrados en las esquinas y el cuadrado del medio, y se eliminan los otros cuadrados. El proceso se repite de forma recursiva para cada uno de los cinco subcuadrados restantes. El fractal de Vicsek es el conjunto obtenido al límite de este procedimiento. La dimensión de Hausdorff de este fractal es ${\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {\ log (5)} {\ log (3)}}}$ ≈ 1,46497.

Una construcción alternativa (que se muestra a continuación en la imagen de la izquierda) es eliminar los cuatro cuadrados de las esquinas y dejar el cuadrado del medio y los cuadrados de arriba, abajo, izquierda y derecha. Las dos construcciones producen curvas límite idénticas, pero una gira 45 grados con respecto a la otra.

Auto-similitudes I - eliminar los cuadrados de las esquinas.
Auto-similitudes II: mantener los cuadrados de las esquinas.

Cuatro iteraciones de la forma saltire del fractal (arriba) y la forma cruzada del fractal (abajo).

Curva anti -punto de cruz , iteraciones 0-4

Isla de punto de cruz

Aproximación por el juego del caos donde el salto = 2/3 aleatoriamente hacia el centro o uno de los vértices de un cuadrado

Propiedades

El fractal de Vicsek tiene la sorprendente propiedad de que tiene un área cero pero un perímetro infinito , debido a su dimensión no entera. En cada iteración, se eliminan cuatro cuadrados por cada cinco retenidos, lo que significa que en la iteración n el área es ${\ Displaystyle \ textstyle {({\ frac {5} {9}}) ^ {n}}}$ (asumiendo un cuadrado inicial de lado de longitud 1). Cuando n se acerca al infinito, el área se acerca a cero. Sin embargo, el perímetro es ${\ Displaystyle \ textstyle {4 ({\ frac {5} {3}}) ^ {n}}}$ , porque cada lado se divide en tres partes y el del centro se reemplaza con tres lados, lo que produce un aumento de tres a cinco. El perímetro se acerca al infinito a medida que n aumenta.

El límite del fractal de Vicsek es la curva de Koch cuadrática de Tipo 1 .

Análogos en dimensiones superiores

Animación del análogo 3D del fractal de Vicsek (tercera iteración)

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Reproducir medios

Vuelo hacia y alrededor de un fractal de Vicsek 3D

Hay un análogo tridimensional del fractal de Vicsek. Se construye subdividiendo cada cubo en 27 más pequeños y eliminando todos menos la "cruz central", el cubo central y los seis cubos que tocan el centro de cada cara. Su dimensión de Hausdorff es ${\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {\ log (7)} {\ log (3)}}}$ ≈ 1,7712.

De manera similar al fractal bidimensional de Vicsek, esta figura tiene un volumen cero. Cada iteración retiene 7 cubos por cada 27, lo que resulta en un volumen de ${\ Displaystyle \ textstyle {({\ frac {7} {27}}) ^ {n}}}$ en la iteración n , que se acerca a cero cuando n se acerca al infinito.

Existe un número infinito de secciones transversales que producen el fractal Vicsek bidimensional.

Ver también

Referencias

^ Shan Fuqi; Gu Hongming; Gao Baoxin (2004). "Análisis de una antena de parche fractal vicsek". Cuarta Conferencia Internacional de ICMMT sobre Tecnología de Ondas Milimétricas y Microondas, 2004 . Beijing, China: IEEE: 98–101. doi : 10.1109 / ICMMT.2004.1411469 . ISBN 9780780384019.
^ Weisstein, Eric W. "Box Fractal" . MathWorld .
^ "Caja de fractales" . 2014-01-03.

enlaces externos

"Caja Fractal" . Sitio Wolfram Alpha . Consultado el 21 de febrero de 2019 .

[1] Shan Fuqi; Gu Hongming; Gao Baoxin (2004). "Análisis de una antena de parche fractal vicsek". Cuarta Conferencia Internacional de ICMMT sobre Tecnología de Ondas Milimétricas y Microondas, 2004 . Beijing, China: IEEE: 98–101. doi : 10.1109 / ICMMT.2004.1411469 . ISBN 9780780384019.

[2] Weisstein, Eric W. "Box Fractal" . MathWorld .

[3] "Caja de fractales" . 2014-01-03.

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