Un n -flake , polyflake o Sierpinski n -gon , [1] : 1 es un fractal construido a partir de un n -gon . Este n -gon se reemplaza por una escama de n -gones más pequeños, de modo que los polígonos escalados se colocan en los vértices y, a veces, en el centro. Este proceso se repite de forma recursiva para dar como resultado el fractal. Por lo general, también existe la restricción de que los n- gones deben tocarse pero no superponerse.
En dos dimensiones
La variedad más común de n -flake es bidimensional (en términos de su dimensión topológica ) y está formada por polígonos. Los cuatro casos especiales más comunes se forman con triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos, pero se pueden extender a cualquier polígono. [1] : 2 Su límite es la curva de von Koch de diversos tipos, dependiendo del n -gon, y dentro de ella se encuentran infinitas curvas de Koch. Los fractales ocupan un área cero pero tienen un perímetro infinito.
La fórmula del factor de escala r para cualquier n- copo es: [2]
donde el coseno se evalúa en radianes y n es el número de lados del n -gon. La dimensión de Hausdorff de un copo n es, donde m es el número de polígonos en cada escama individual y r es el factor de escala.
Triángulo de Sierpinski
El triángulo de Sierpinski es un copo n formado por copos sucesivos de tres triángulos. Cada escama se forma colocando triángulos escalados por 1/2 en cada esquina del triángulo que reemplazan. Su dimensión de Hausdorff es igual a≈ 1.585. La se obtiene porque cada iteración tiene 3 triángulos escalados por 1/2.
La sexta iteración del triángulo de Sierpinski.
El triángulo de Sierpinski creado por el juego del caos .
Fractal de Vicsek
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/4/40/Box_fractal.svg/130px-Box_fractal.svg.png)
Si se construyera un sierpinski 4-gon a partir de la definición dada, el factor de escala sería 1/2 y el fractal sería simplemente un cuadrado. Una alternativa más interesante, el fractal de Vicsek , rara vez llamado quadraflake, está formado por copos sucesivos de cinco cuadrados escalados en 1/3. Cada hojuela se forma colocando un cuadrado escalado en cada esquina y uno en el centro o uno a cada lado del cuadrado y uno en el centro. Su dimensión de Hausdorff es igual a≈ 1,4650. Lase obtiene porque cada iteración tiene 5 cuadrados escalados en 1/3. El límite del fractal Vicsek es una curva de Koch cuadrática de tipo 1 .
Pentaflake
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/f/f9/ZoomingpentaKoch.gif/200px-ZoomingpentaKoch.gif)
Un pentaflake, o pentágono de sierpinski, está formado por copos sucesivos de seis pentágonos regulares. [3] Cada hojuela se forma colocando un pentágono en cada esquina y uno en el centro. Su dimensión de Hausdorff es igual a ≈ 1.8617, donde ( proporción áurea ). La se obtiene porque cada iteración tiene 6 pentágonos escalados por . El límite de un pentaflake es la curva de Koch de 72 grados.
También hay una variación del pentaflake que no tiene pentágono central. Su dimensión de Hausdorff es igual a≈ 1,6723. Esta variación todavía contiene infinitas curvas de Koch, pero son algo más visibles.
Tercera iteración, con pentágonos centrales
Cuarta iteración, con pentágonos centrales
Quinta iteración, con pentágonos centrales
2da iteración, sin pentágonos centrales
Tercera iteración, sin pentágonos centrales
4ta iteración, sin pentágonos centrales
Quinta iteración, sin pentágonos centrales
Hexaflake
Un hexágono , está formado por sucesivos copos de siete hexágonos regulares. [4] Cada escama se forma colocando un hexágono escalado en cada esquina y uno en el centro. Su dimensión de Hausdorff es igual a≈ 1,7712. Lase obtiene porque cada iteración tiene 7 hexágonos que tienen una escala de 1/3. El límite de un hexacopo es la curva estándar de Koch de 60 grados y en su interior hay infinitos copos de nieve de Koch . Además, la proyección del cubo cantor sobre el plano ortogonal a su diagonal principal es un hexágono.
Al igual que el pentacopo, también hay una variación del hexacopo, llamado hexágono de Sierpinski, que no tiene hexágono central. [5] Su dimensión de Hausdorff es igual a≈ 1.6309. Esta variación todavía contiene infinitas curvas de Koch de 60 grados.
Hexaflake
Las primeras seis iteraciones del hexaflake.
Cuarta iteración del hexágono de Sierpinski.
Proyección ortogonal de un cubo cantor que muestra un hexágono.
Polyflake
También existen n- copos de polígonos superiores, aunque son menos comunes y no suelen tener un polígono central. Algunos ejemplos se muestran a continuación; de 7 a 12 escamas. Si bien puede que no sea obvio, estos polyflakes más altos todavía contienen infinitas curvas de Koch, pero el ángulo de las curvas de Koch disminuye a medida que n aumenta. Sus dimensiones de Hausdorff son un poco más difíciles de calcular que las n- copos más bajas porque su factor de escala es menos obvio. Sin embargo, la dimensión de Hausdorff es siempre menor que dos pero no menor que uno. Un copo n interesante es el copo ∞, porque a medida que aumenta el valor de n , la dimensión de Hausdorff de un copo n se acerca a 1, [1] : 7
Las primeras cuatro iteraciones del heptaflake o 7-flake.
Las primeras cuatro iteraciones del octoflake u 8-flake.
Las primeras cuatro iteraciones del enneaflake o 9-flake.
Las primeras cuatro iteraciones del decaflake o 10-flake.
Las primeras cuatro iteraciones del endecapito o de 11 escamas.
Las primeras cuatro iteraciones del dodecaflake o 12-flake.
En tres dimensiones
Los n- copos se pueden generalizar a dimensiones superiores, en particular a una dimensión topológica de tres. [6] En lugar de polígonos, los poliedros regulares se reemplazan iterativamente. Sin embargo, aunque hay un número infinito de polígonos regulares, solo hay cinco poliedros convexos regulares. Debido a esto, los n-copos tridimensionales también se denominan fractales sólidos platónicos . [7] En tres dimensiones, el volumen de los fractales es cero.
Tetraedro de Sierpinski
Un tetraedro de Sierpinski está formado por copos sucesivos de cuatro tetraedros regulares. Cada copo se forma colocando un tetraedro escalado por 1/2 en cada esquina. Su dimensión de Hausdorff es igual a, que es exactamente igual a 2. En cada cara hay un triángulo de Sierpinski y dentro hay infinitos.
La tercera iteración del tetraedro de Sierpinski.
Copos de hexaedro
Un copo de hexaedro, o cubo, definido de la misma manera que el tetraedro de Sierpinski es simplemente un cubo [8] y no es interesante como fractal. Sin embargo, hay dos alternativas agradables. Una es la Esponja Menger , donde cada cubo es reemplazado por un anillo tridimensional de cubos. Su dimensión de Hausdorff es ≈ 2.7268.
Se puede producir otro copo de hexaedro de una manera similar al fractal de Vicsek extendido a tres dimensiones. Cada cubo se divide en 27 cubos más pequeños y se retiene la cruz central, que es lo opuesto a la esponja Menger donde se quita la cruz. Sin embargo, no es el complemento de Menger Sponge. Su dimensión de Hausdorff es ≈ 1.7712, porque una cruz de 7 cubos, cada uno con una escala de 1/3, reemplaza a cada cubo.
La cuarta iteración de la esponja Menger.
Tercera iteración del fractal Vicsek 3D .
Copos de octaedro
Un copo de octaedro, o octaedro de sierpinski, está formado por copos sucesivos de seis octaedros regulares. Cada escama se forma colocando un octaedro escalado por 1/2 en cada esquina. Su dimensión de Hausdorff es igual a≈ 2,5849. En cada cara hay un triángulo de Sierpinski e infinitamente muchos están contenidos dentro.
Escamas de dodecaedro
Una escama de dodecaedro, o dodecaedro de sierpinski, está formada por las sucesivas escamas de veinte dodecaedros regulares. Cada escama se forma colocando un dodecaedro escalado poren cada esquina. Su dimensión de Hausdorff es igual a ≈ 2,3296.
Escama de icosaedro
Un copo de icosaedro, o icosaedro de sierpinski, está formado por copos sucesivos de doce icosaedros regulares. Cada escama se forma colocando un icosaedro escalado poren cada esquina. Su dimensión de Hausdorff es igual a ≈ 2,5819.
Ver también
Referencias
- ^ a b c Dennis, Kevin; Schlicker, Steven, Sierpinski n -Gons (PDF)
- ^ Acertijo, Larry. "Sierpinski n-gons" . Consultado el 9 de mayo de 2011 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Pentaflake" . MathWorld .
- ^ Choudhury, SM; Matin, MA (2012), "Effect of FSS ground plane on second iteration of hexaflake fractal patch antenna", 7th International Conference onElectrical Computer Engineering (ICECE 2012) , págs. 694–697, doi : 10.1109 / ICECE.2012.6471645.
- ^ Devaney, Robert L. (noviembre de 2004), "¡El caos gobierna!" (PDF) , Horizontes de matemáticas : 11-13.
- ^ Kunnen, Aimee; Schlicker, Steven, poliedros regulares de Sierpinski (PDF)
- ^ Paul Bourke (diciembre de 2005). "Fractales sólidos platónicos y sus complementos" . Archivado desde el original el 9 de diciembre de 2014 . Consultado el 4 de diciembre de 2014 .
- ^ Kunnen, Aimee; Schlicker, Steven, Poliedros regulares de Sierpinski (PDF) , pág. 3
enlaces externos
- Quadraflakes, Pentaflakes, Hexaflakes y más: incluye código de Mathematica para generar estos fractales