En topología , un área de las matemáticas , la conjetura virtualmente de Haken establece que toda variedad tridimensional compacta , orientable e irreductible con un grupo fundamental infinito es virtualmente Haken . Es decir, tiene una cobertura finita (un espacio de cobertura con un mapa de cobertura finito a uno) que es una variedad Haken .
Después de la prueba de la conjetura de geometrización de Perelman , la conjetura solo estaba abierta para 3 variedades hiperbólicas .
La conjetura se suele atribuir a Friedhelm Waldhausen en un artículo de 1968, [1] aunque no la declaró formalmente. Este problema se enuncia formalmente como Problema 3.2 en la lista de problemas de Kirby .
Una prueba de la conjetura fue anunciada el 12 de marzo de 2012 por Ian Agol en una conferencia seminario que dio en el Institut Henri Poincaré . La prueba apareció poco después en una preimpresión que finalmente se publicó en Documenta Mathematica . [2] La prueba se obtuvo vía una estrategia por trabajo previo de Daniel Wise y colaboradores, apoyándose en acciones del grupo fundamental sobre ciertos espacios auxiliares (CAT (0) complejos cúbicos) [3] Se utilizó como ingrediente esencial el recién- solución obtenida a la conjetura del subgrupo de superficie por Jeremy Kahn y Vladimir Markovic . [4] [5] Otros resultados que se utilizan directamente en la demostración de Agol incluyen el Teorema del cociente especial malnormal de Wise [6] y un criterio de Nicolas Bergeron y Wise para la cubulación de grupos. [7]
En 2018, Piotr Przytycki y Daniel Wise obtuvieron resultados relacionados que demostraron que los 3-manifolds mixtos también son virtualmente especiales, es decir, pueden cubularse en un complejo cúbico con una cubierta finita donde se incrustan todos los hiperplanos que por el trabajo mencionado anteriormente pueden hacerse virtualmente Hanken [8] [9]