En topología , un área de las matemáticas , la conjetura virtualmente de Haken establece que toda variedad tridimensional compacta , orientable e irreducible con un grupo fundamental infinito es virtualmente Haken . Es decir, tiene una cobertura finita (un espacio de cobertura con un mapa de cobertura finito a uno) que es una variedad Haken .
Después de la prueba de la conjetura de geometrización de Perelman , la conjetura solo estaba abierta para 3 variedades hiperbólicas .
La conjetura se suele atribuir a Friedhelm Waldhausen en un artículo de 1968, [1] aunque no la declaró formalmente. Este problema se enuncia formalmente como Problema 3.2 en la lista de problemas de Kirby .
Una prueba de la conjetura fue anunciada el 12 de marzo de 2012 por Ian Agol en una conferencia seminario que dio en el Institut Henri Poincaré . La prueba apareció poco después en una preimpresión que finalmente se publicó en Documenta Mathematica . [2] La prueba se obtuvo a través de una estrategia del trabajo previo de Daniel Wise y colaboradores, apoyándose en acciones del grupo fundamental sobre ciertos espacios auxiliares (CAT (0) complejos cúbicos) [3] Se utilizó como ingrediente esencial el recién nacido solución obtenida a la conjetura del subgrupo de superficie por Jeremy Kahn y Vladimir Markovic . [4] [5] Otros resultados que se utilizan directamente en la demostración de Agol incluyen el Teorema del cociente especial malnormal de Wise [6] y un criterio de Nicolas Bergeron y Wise para la cubulación de grupos. [7]
Ver también
Notas
- ^ Waldhausen, Friedhelm (1968). "En 3-colectores irreductibles que son suficientemente grandes" . Annals of Mathematics . 87 (1): 56–88. doi : 10.2307 / 1970594 . JSTOR 1970594 . Señor 0224099 .
- ^ Agol, Ian (2013). Con un apéndice de Ian Agol, Daniel Groves y Jason Manning. "La conjetura virtual de Haken" . Doc. Matemáticas . 18 : 1045–1087. Señor 3104553 .
- ^ Haglund, Frédéric; Wise, Daniel (2012). "Un teorema de combinación para complejos especiales de cubos" . Annals of Mathematics . 176 (3): 1427–1482. doi : 10.4007 / annals.2012.176.3.2 . Señor 2979855 .
- ^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2012). "Sumergir superficies casi geodésicas en un tres colector hiperbólico cerrado". Annals of Mathematics . 175 (3): 1127-1190. arXiv : 0910.5501 . doi : 10.4007 / annals.2012.175.3.4 . Señor 2912704 .
- ^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2012). "Contando superficies esenciales en un triple colector hiperbólico cerrado". Geometría y topología . 16 (1): 601–624. arXiv : 1012.2828 . doi : 10.2140 / gt.2012.16.601 . Señor 2916295 .
- ^ Daniel T. Wise, La estructura de grupos con una jerarquía cuasiconvexa , https://docs.google.com/file/d/0B45cNx80t5-2NTU0ZTdhMmItZTIxOS00ZGUyLWE0YzItNTEyYWFiMjczZmIz/edit?pli=1
- ^ Bergeron, Nicolas; Sabio, Daniel T. (2012). "Un criterio de frontera para la cubulación". Revista Estadounidense de Matemáticas . 134 (3): 843–859. arXiv : 0908.3609 . doi : 10.1353 / ajm.2012.0020 . Señor 2931226 .
Referencias
- Dunfield, Nathan; Thurston, William (2003), "La conjetura virtual de Haken: experimentos y ejemplos", Geometría y topología , 7 : 399–441, arXiv : math / 0209214 , doi : 10.2140 / gt.2003.7.399 , MR 1988291.
- Kirby, Robion (1978), "Problemas en la teoría de variedades de baja dimensión". , Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976) , 7 , págs. 273–312, ISBN 9780821867891, MR 0520548.