Virtualmente
En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta que estudia grupos infinitos , el adverbio virtualmente se usa para modificar una propiedad de modo que solo se cumpla para un subgrupo de índice finito . Dada una propiedad P, se dice que el grupo G es virtualmente P si existe un subgrupo de índice finito tal que H tiene la propiedad P.
Los usos comunes para esto serían cuando P es abeliano , nilpotente , soluble o libre . Por ejemplo, los grupos virtualmente solubles son una de las dos alternativas en la alternativa de Tits , mientras que el teorema de Gromov establece que los grupos finitamente generados con crecimiento polinomial son precisamente los grupos finitamente generados virtualmente nilpotentes.
Esta terminología también se usa cuando P es solo otro grupo. Es decir, si G y H son grupos, entonces G es virtualmente H si G tiene un subgrupo K de índice finito en G tal que K es isomorfo a H.
En particular, un grupo es virtualmente trivial si y solo si es finito. Dos grupos son virtualmente iguales si y sólo si son conmensurables .
El teorema de Gromov dice que un grupo generado finitamente es virtualmente nilpotente si y solo si tiene un crecimiento polinomial.
El grupo libre en 2 generadores es virtualmente para cualquiera como consecuencia del teorema de Nielsen-Schreier y la fórmula del índice de Schreier .
