En matemáticas , específicamente en teoría de grupos, dos grupos son conmensurables si difieren solo en una cantidad finita, en un sentido preciso. El conmensurador de un subgrupo es otro subgrupo, relacionado con el normalizador .
Conmensurabilidad en la teoría de grupos
Se dice que dos grupos G 1 y G 2 son ( abstractamente ) conmensurables si hay subgrupos H 1 ⊂ G 1 y H 2 ⊂ G 2 de índice finito tal que H 1 es isomorfo a H 2 . [1] Por ejemplo:
- Un grupo es finito si y solo si es conmensurable con el grupo trivial.
- Dos grupos libres generados finitamente cualesquiera en al menos 2 generadores son conmensurables entre sí. [2] El grupo SL (2, Z ) también es conmensurable con estos grupos libres.
- Dos grupos de superficie cualesquiera del género al menos 2 son conmensurables entre sí.
Se utiliza una noción diferente pero relacionada para los subgrupos de un grupo dado. Es decir, se dice que dos subgrupos Γ 1 y Γ 2 de un grupo G son conmensurables si la intersección Γ 1 ∩ Γ 2 es de índice finito tanto en Γ 1 como en Γ 2 . Claramente, esto implica que Γ 1 y Γ 2 son abstractamente conmensurables.
Ejemplo: para distinto de cero números reales a y b , el subgrupo de R generada por un es conmensurable con el subgrupo generado por b si y sólo si los números reales a y b son conmensurables , lo que significa que un / b pertenece a los números racionales Q .
En la teoría de grupos geométricos , un grupo generado finitamente se ve como un espacio métrico usando la palabra métrica . Si dos grupos son (abstractamente) conmensurables, entonces son cuasi-isométricos . [3] Ha sido fructífero preguntar cuándo se sostiene la recíproca.
Hay una noción análoga en álgebra lineal: dos lineal subespacios S y T de un espacio vectorial V son conmensurables si la intersección S ∩ T tiene finito codimensión tanto en S y T .
En topología
Dos espacios topológicos conectados por caminos a veces se denominan conmensurables si tienen espacios de cobertura homeomórficos de láminas finitas . Dependiendo del tipo de espacio que se esté considerando, es posible que desee utilizar equivalencias de homotopía o difeomorfismos en lugar de homeomorfismos en la definición. Por la relación entre los espacios de cobertura y el grupo fundamental , los espacios conmensurables tienen grupos fundamentales conmensurables.
Ejemplo: el colector de Gieseking es conmensurable con el complemento del nudo en forma de ocho ; ambos son 3-variedades hiperbólicas no compactas de volumen finito. Por otro lado, hay infinitas clases de conmensurabilidad diferentes de 3-variedades hiperbólicas compactas, y también de 3-variedades hiperbólicas no compactas de volumen finito. [4]
El conmensurador
El conmensurador de un subgrupo Γ de un grupo G , denotado Com G (Γ), es el conjunto de elementos g de G que de tal manera que el subgrupo conjugado g Γ g −1 es conmensurable con Γ. [5] En otras palabras,
Este es un subgrupo de G que contiene el normalizador N G (Γ) (y por lo tanto contiene Γ).
Por ejemplo, el conmensurador del grupo lineal especial SL ( n , Z ) en SL ( n , R ) contiene SL ( n , Q ). En particular, el conmensurador de SL ( n , Z ) en SL ( n , R ) es denso en SL ( n , R ). Más en general, Grigory Margulis mostró que la commensurator de un enrejado Γ en un grupo de Lie semisimple G es denso en G si y sólo si Γ es un subgrupo aritmética de G . [6]
El conmensurador abstracto
El conmensurador abstracto de un grupo, denotado Com, es el grupo de clases de equivalencia de isomorfismos , dónde y son subgrupos de índices finitos de , bajo composición. [7] Elementos dese llaman conmensuradores de.
Si es un grupo de Lie semisimple conectado no isomorfo a, con centro trivial y sin factores compactos, luego por el teorema de rigidez de Mostow , el conmensurador abstracto de cualquier red irreducible es lineal. Además, si es aritmética, entonces Comm es virtualmente isomorfo a un subgrupo denso de , de lo contrario Comm es virtualmente isomorfo a .
Notas
- ^ Druțu y Kapovich (2018), Definición 5.13.
- ^ Druțu y Kapovich (2018), Proposición 7.80.
- ^ Druțu y Kapovich (2018), Corolario 8.47.
- ^ Maclachlan y Reid (2003), Corolario 8.4.2.
- ^ Druțu y Kapovich (2018), Definición 5.17.
- ^ Margulis (1991), Capítulo IX, Teorema B.
- ^ Druțu y Kapovich (2018), sección 5.2.
Referencias
- Druțu, Cornelia ; Kapovich, Michael (2018), Teoría de grupos geométricos , Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 9781470411046, MR 3753580
- Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), La aritmética de los 3 colectores hiperbólicos , Springer Nature , ISBN 0-387-98386-4, Señor 1937957
- Margulis, Grigory (1991), subgrupos discretos de grupos de mentiras semisimple , Springer Nature , ISBN 3-540-12179-X, MR 1090825