Solución de viscosidad

En matemáticas , el concepto de solución de viscosidad fue introducido a principios de la década de 1980 por Pierre-Louis Lions y Michael G. Crandall como una generalización del concepto clásico de lo que se entiende por "solución" a una ecuación diferencial parcial (PDE). Se ha encontrado que la solución de viscosidad es el concepto de solución natural para usar en muchas aplicaciones de PDE, incluidas, por ejemplo, ecuaciones de primer orden que surgen en programación dinámica (la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman ), juegos diferenciales ( Hamilton-Jacobi-Isaacs ecuación ) o problemas de evolución frontal, ^{[1] [2]} así como ecuaciones de segundo orden como las que surgen en el control óptimo estocástico o en los juegos diferenciales estocásticos.

sobre un dominio tiene una solución si podemos encontrar una función u ( x ) continua y diferenciable sobre todo el dominio de tal manera que , , , satisfacen la ecuación anterior en cada punto.${\ Displaystyle x \ in \ Omega}$ ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle u}$${\ displaystyle Du}$${\ Displaystyle D ^ {2} u}$

Si una ecuación escalar es elíptica degenerada (definida a continuación), se puede definir un tipo de solución débil llamada solución de viscosidad . Bajo el concepto de solución de viscosidad, u no necesita ser diferenciable en todas partes. Puede haber puntos en los que existe o no existe y, sin embargo, u satisface la ecuación en un sentido generalizado apropiado. La definición solo admite cierto tipo de singularidades, de modo que la existencia, la unicidad y la estabilidad bajo límites uniformes, son válidas para una gran clase de ecuaciones.${\ displaystyle Du}$${\ Displaystyle D ^ {2} u}$

Hay varias formas equivalentes de expresar la definición de soluciones de viscosidad. Consulte, por ejemplo, la sección II.4 del libro de Fleming y Soner ^[3] o la definición de uso de semi-jets en la Guía del usuario. ^[4]

Considere el problema del valor en la frontera o , en adelante, con las condiciones de la frontera . Entonces, la función es una solución de viscosidad.${\ Displaystyle | u '(x) | = 1}$${\ Displaystyle F (u ') = | u' | -1 = 0}$${\ displaystyle (-1,1)}$${\ Displaystyle u (-1) = u (1) = 0}$${\ Displaystyle u (x) = 1- | x |}$

Familia de soluciones convergiendo hacia .${\ Displaystyle u _ {\ epsilon}}$${\ Displaystyle u (x) = 1- | x |}$