El cálculo visual , inventado por Mamikon Mnatsakanian (conocido como Mamikon), es un enfoque para resolver una variedad de problemas de cálculo integral . [1] Muchos problemas que de otro modo parecerían bastante difíciles ceden al método sin apenas una línea de cálculo, a menudo recuerdan lo que Martin Gardner llama "¡ajá! Soluciones" o Roger Nelsen una demostración sin palabras . [2] [3]
Descripción
Mamikon ideó su método en 1959 cuando era estudiante y lo aplicó por primera vez a un conocido problema de geometría: encontrar el área de un anillo ( anillo ), dada la longitud de una cuerda tangente a la circunferencia interior. Quizás sorprendentemente, no se necesita información adicional; la solución no depende de las dimensiones interior y exterior del anillo.
El enfoque tradicional implica álgebra y la aplicación del teorema de Pitágoras . El método de Mamikon, sin embargo, prevé una construcción alternativa del anillo: primero se dibuja el círculo interior solo, luego se hace que una tangente de longitud constante viaje a lo largo de su circunferencia, "barriendo" el anillo a medida que avanza.
Ahora bien, si todas las tangentes (de longitud constante) utilizadas en la construcción del anillo se trasladan de modo que sus puntos de tangencia coincidan, el resultado es un disco circular de radio conocido (y área fácilmente calculable). De hecho, dado que el radio del círculo interno es irrelevante, se podría haber comenzado con un círculo de radio cero (un punto), y barrer un anillo alrededor de un círculo de radio cero es indistinguible de simplemente girar un segmento de línea alrededor de uno de los siguientes. sus puntos finales y barriendo un disco.
La intuición de Mamikon fue reconocer la equivalencia de las dos construcciones; y debido a que son equivalentes, producen áreas iguales. Además, siempre que se dé que la longitud de la tangente es constante, no es necesario que las dos curvas iniciales sean circulares, un hallazgo que no se prueba fácilmente con métodos geométricos más tradicionales. Esto produce el teorema de Mamikon :
- El área de un barrido tangente es igual al área de su grupo tangente, independientemente de la forma de la curva original.
Aplicaciones
Área de una cicloide
El área de una cicloide se puede calcular considerando el área entre ella y un rectángulo circundante. Todas estas tangentes se pueden agrupar para formar un círculo. Si el círculo que genera la cicloide tiene radio r, entonces este círculo también tiene radio r y área π r 2 . El área del rectángulo es 2 r × 2π r = 4π r 2 . Por lo tanto, el área de la cicloide es 3π r 2 : es 3 veces el área del círculo generador.
Se puede ver que el grupo tangente es un círculo porque la cicloide es generada por un círculo y la tangente a la cicloide estará en ángulo recto con la línea desde el punto de generación hasta el punto de rodadura. Así, la tangente y la línea al punto de contacto forman un triángulo rectángulo en el círculo generador. Esto significa que agrupadas las tangentes describirán la forma del círculo generador.
Ver también
- Principio de Cavalieri
- Hodógrafa : esta es una construcción relacionada que mapea la velocidad de un punto usando un diagrama polar.
- El método de los teoremas mecánicos
- Teorema del centroide de Pappus
- Planimetro
Referencias
- ^ Cálculo visual Mamikon Mnatsakanian
- ^ Nelsen, Roger B. (1993). Pruebas sin palabras , Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-700-7 .
- ^ Martin Gardner (1978) ¡Ajá! Insight , WH Freeman & Company; ISBN 0-7167-1017-X
- ^ "El borde del universo: celebrando diez años de horizontes matemáticos" . Consultado el 9 de mayo de 2017 .