En matemáticas , la curva de Viviani , también conocida como ventana de Viviani , es una curva espacial en forma de ocho que lleva el nombre del matemático italiano Vincenzo Viviani . Es la intersección de una esfera con un cilindro que es tangente a la esfera y pasa por dos polos (un diámetro) de la esfera (ver diagrama). Antes de Viviani, esta curva fue estudiada por Simon de La Loubère y Gilles de Roberval . [1] [2]
La proyección de la curva de Viviani sobre un plano perpendicular a la línea que pasa por el punto de cruce y el centro de la esfera es la lemniscata de Gerono . [3]
En 1692 Viviani abordó la tarea: Recortar una media esfera (radio ) Dos ventanas, tal que la superficie restante (de la media esfera) puede ser cuadrado , es decir, un cuadrado con la misma área pueden construirse usando sólo compases y la regla. Su solución tiene un área de (vea abajo).
Ecuaciones
Para mantener la prueba de cuadratura simple,
- la esfera tiene la ecuación
y
- el cilindro está en posición vertical con la ecuación .
El cilindro tiene radio y es tangente a la esfera en el punto
Propiedades de la curva
Plano de planta, alzado y plano lateral
Eliminación de , , respectivamente rinde:
La proyección ortogonal de la curva de intersección sobre el
- - -plano es el círculo con ecuación
- - -planea la parábola con la ecuación
- - -planea la curva algebraica con la ecuación
Representación paramétrica
Representando la esfera por
y ambientación produce la curva
Se comprueba fácilmente que la curva esférica cumple la ecuación del cilindro. Pero los límites solo permiten la parte roja (ver diagrama) de la curva de Viviani. La segunda mitad faltante (verde) tiene la propiedad
Con la ayuda de esta representación paramétrica es fácil probar el enunciado: El área de la media esfera (que contiene la curva de Viviani) menos el área de las dos ventanas es . El área de la parte superior derecha de la ventana de Viviani (ver diagrama) se puede calcular mediante una integración :
Por tanto, el área total de la superficie esférica incluida por la curva de Viviani es y el área de la media esfera () menos el área de la ventana de Viviani es , el área de un cuadrado con el diámetro de la esfera como la longitud de un borde.
Representación bezier racional
El cuarto de la curva de Viviani que se encuentra en el cuadrante totalmente positivo del espacio 3D no se puede representar exactamente mediante una curva Bézier regular de ningún grado.
Sin embargo, se puede representar exactamente mediante un segmento bezier racional 3D de grado 4, y existe una familia infinita de puntos de control bezier racionales que generan ese segmento.
Una posible solución viene dada por los siguientes cinco puntos de control:
La parametrización racional correspondiente es:
Relación con otras curvas
- La elevación en forma de 8 (ver arriba) es una Lemniscata de Gerono .
- La curva de Viviani es una curva Clelia especial . Para una curva de Clelia, la relación entre los ángulos es
Restar 2 × la ecuación del cilindro de la ecuación de la esfera y aplicar completar el cuadrado conduce a la ecuación
que describe un cono circular recto con su vértice en, el doble punto de la curva de Viviani. Por eso
- La curva de Viviani puede considerarse no solo como la curva de intersección de una esfera y un cilindro, sino también como
- a) la intersección de una esfera y un cono y como
- b) la intersección de un cilindro y un cono.
Ver también
Referencias
- ^ Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659 , 9783322853653, pág. 97.
- ^ K. Strubecker : Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoeck y Ruprecht, Göttingen 1967, pág. 250.
- ^ Costa, Luisa Rossi; Marchetti, Elena (2005), "Investigación matemática e histórica sobre domos y bóvedas", en Weber, Ralf; Amann, Matthias Albrecht (eds.), Estética y composición arquitectónica: actas del Simposio Internacional de Arquitectura de Dresde 2004 , Mammendorf: Pro Literatur, págs. 73–80.
enlaces externos
- Berger, Marcel: Geometría. II. Traducido del francés por M. Cole y S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Berlín, 1987.
- Berger, Marcel: Geometría. I. Traducido del francés por M. Cole y S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Berlín, 1987. xiv + 428 págs. ISBN 3-540-11658-3
- "Curva de Viviani" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "La curva de Viviani" . MathWorld .