En geometría algebraica , una lemniscata es cualquiera de varias curvas en forma de ocho o en forma de ∞ . [1] [2] La palabra proviene del latín "lēmniscātus" que significa "decorado con cintas", del griego λημνίσκος que significa "cintas", [2] o que alternativamente puede referirse a la lana de la que se hicieron las cintas . [1]
Las curvas que se han denominado lemniscata incluyen tres curvas planas cuarticas : la hipopédica o lemniscata de Booth , la lemniscata de Bernoulli y la lemniscata de Gerono . El estudio de los lemniscates (y en particular del hipopéde) se remonta a las matemáticas griegas antiguas , pero el término "lemniscates" para las curvas de este tipo proviene del trabajo de Jacob Bernoulli a finales del siglo XVII.
Historia y ejemplos
Lemniscata de cabina
La consideración de curvas con forma de ocho se remonta a Proclo , un filósofo y matemático neoplatónico griego que vivió en el siglo V d.C. Proclo consideró las secciones transversales de un toro por un plano paralelo al eje del toro. Como observó, para la mayoría de esas secciones, la sección transversal consta de uno o dos óvalos; sin embargo, cuando el plano es tangente a la superficie interior del toro, la sección transversal adquiere una forma de ocho, que Proclus llamó grillete de caballo (un dispositivo para sujetar dos pies de un caballo juntos), o "hipopéde". en griego. El nombre "lemniscate de Booth" para esta curva data de su estudio por el matemático del siglo XIX James Booth . [1]
La lemniscata puede definirse como una curva algebraica , el conjunto cero del polinomio cuártico cuando el parámetro d es negativo (o cero para el caso especial donde la lemniscata se convierte en un par de círculos tangentes externamente). Para valores positivos de d, se obtiene el óvalo de Booth .
Lemniscate de Bernoulli
En 1680, Cassini estudió una familia de curvas, ahora llamado óvalo de Cassini , definido de la siguiente manera: el lugar de todos los puntos, el producto de cuyas distancias desde dos puntos fijos, los focos de las curvas , es una constante. En circunstancias muy particulares (cuando la distancia media entre los puntos es igual a la raíz cuadrada de la constante) esto da lugar a una lemniscata.
En 1694, Johann Bernoulli estudió el caso de la lemniscata del óvalo de Cassini, ahora conocido como lemniscata de Bernoulli (mostrado arriba), en relación con un problema de " isócronas " que había sido planteado anteriormente por Leibniz . Como el hipopedo, es una curva algebraica, el conjunto cero del polinomio. El hermano de Bernoulli, Jacob Bernoulli, también estudió la misma curva en el mismo año y le dio su nombre, la lemniscata. [3] También se puede definir geométricamente como el lugar geométrico de puntos cuyo producto de las distancias de dos focos es igual al cuadrado de la mitad de la distancia interfocal. [4] Es un caso especial del hipopéde (lemniscata de Booth), con, y puede estar formado como una sección transversal de un toro cuyo orificio interior y secciones transversales circulares tienen el mismo diámetro entre sí. [1] Las funciones elípticas lemniscatic son análogas a las funciones trigonométricas para la lemniscata de Bernoulli, y las constantes de lemniscata surgen al evaluar la longitud del arco de esta lemniscata.
Lemniscate de Gerono
Otra lemniscata, la lemniscata de Gerono o lemniscata de Huygens, es el conjunto cero del polinomio cuártico. [6] [7] La curva de Viviani , una curva tridimensional formada por la intersección de una esfera con un cilindro, también tiene forma de ocho y tiene la lemniscata de Gerono como proyección plana. [8]
Otros
Otras curvas algebraicas en forma de ocho incluyen
- La curva del diablo , una curva definida por la ecuación cuárticaen el que un componente conectado tiene forma de ocho, [9]
- Curva de Watt , una curva en forma de ocho formada por un enlace mecánico. La curva de Watt es el conjunto cero de la ecuación polinomial de grado seis y tiene la lemniscata de Bernoulli como caso especial.
Ver también
- Analema , la curva en forma de ocho trazada por las posiciones al mediodía del sol en el cielo durante el transcurso de un año.
- símbolo infinito
- Lemniscates como cónicas generalizadas
- Atractor de Lorenz , un sistema dinámico tridimensional que exhibe una forma de lemniscata
- Lemniscata polinomial , un conjunto de niveles del valor absoluto de un polinomio complejo
Referencias
- ^ a b c d Schappacher, Norbert (1997), "Algunos hitos de la lemniscatomía", Geometría algebraica (Ankara, 1995) , Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, 193 , Nueva York: Dekker, págs. 257-290, MR 1483331.
- ^ a b Erickson, Martin J. (2011), "1.1 Lemniscate", Beautiful Mathematics , MAA Spectrum, Asociación Matemática de América , págs. 1-3, ISBN 9780883855768.
- ^ Bos, HJM (1974), "La lemniscata de Bernoulli", para Dirk Struik , Boston Stud. Philos. Sci., XV, Dordrecht: Reidel, págs. 3-14, ISBN 9789027703934, MR 0774250.
- ^ Langer, Joel C .; Singer, David A. (2010), "Reflexiones sobre la lemniscata de Bernoulli: las cuarenta y ocho caras de una joya matemática", Milan Journal of Mathematics , 78 (2): 643–682, doi : 10.1007 / s00032-010- 0124-5 , MR 2.781.856 , S2CID 1448521.
- ^ Köller, Jürgen. "Acht-Kurve" . www.mathematische-basteleien.de . Consultado el 26 de noviembre de 2017 .
- ^ Basset, Alfred Barnard (1901), "The Lemniscate of Gerono", Un tratado elemental sobre curvas cúbicas y cuárticas , Deighton, Bell, págs. 171-172.
- ^ Chandrasekhar, S (2003), Principia de Newton para el lector común , Oxford University Press, p. 133, ISBN 9780198526759.
- ^ Costa, Luisa Rossi; Marchetti, Elena (2005), "Investigación matemática e histórica sobre domos y bóvedas", en Weber, Ralf; Amann, Matthias Albrecht (eds.), Estética y composición arquitectónica: actas del Simposio Internacional de Arquitectura de Dresde 2004 , Mammendorf: Pro Literatur, págs. 73–80.
- ^ Darling, David (2004), "curva del diablo", El Libro Universal de Matemáticas: De Abracadabra a las paradojas de Zeno , John Wiley & Sons, págs. 91–92, ISBN 9780471667001.
enlaces externos
- "Lemniscates" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]