grupo triangular
En matemáticas , un grupo de triángulos es un grupo que se puede realizar geométricamente mediante secuencias de reflejos a lo largo de los lados de un triángulo . El triángulo puede ser un triángulo euclidiano ordinario , un triángulo sobre la esfera o un triángulo hiperbólico . Cada grupo de triángulos es el grupo de simetría de un teselado del plano euclidiano , la esfera o el plano hiperbólico por triángulos congruentes llamados triángulos de Möbius , cada uno un dominio fundamentalpara la acción
Sean l , m , n números enteros mayores o iguales a 2. Un grupo triangular Δ( l , m , n ) es un grupo de movimientos del plano euclidiano, la esfera bidimensional, el plano proyectivo real o el hiperbólico plano generado por las reflexiones en los lados de un triángulo con ángulos π/ l , π/ m y π/ n (medido en radianes ). El producto de las reflexiones en dos lados adyacentes es una rotación del ángulo que es el doble del ángulo entre esos lados, 2π/ l, 2π/ m y 2π/ n . Por lo tanto, si las reflexiones generadoras se etiquetan como a , b , c y los ángulos entre ellas en el orden cíclico son como se indica arriba, entonces se cumplen las siguientes relaciones:
Es un teorema que todas las demás relaciones entre a, b, c son consecuencias de estas relaciones y que Δ( l,m,n ) es un grupo discreto de movimientos del espacio correspondiente. Así un grupo triangular es un grupo de reflexión que admite una presentación grupal
Dados cualesquiera números naturales l , m , n > 1 exactamente una de las geometrías bidimensionales clásicas (euclidiana, esférica o hiperbólica) admite un triángulo con los ángulos (π/l, π/m, π/n), y el el espacio está embaldosado por las reflexiones del triángulo. La suma de los ángulos del triángulo determina el tipo de geometría por el teorema de Gauss-Bonnet : es euclidiana si la suma de los ángulos es exactamente π, esférica si excede π e hiperbólica si es estrictamente menor que π. Además, dos triángulos cualesquiera con los ángulos dados son congruentes. Cada grupo de triángulos determina un mosaico, que convencionalmente se colorea en dos colores, de modo que dos mosaicos adyacentes cualesquiera tengan colores opuestos.
El grupo de triángulos es el grupo de simetría infinita de una determinada teselación (o mosaico) del plano euclidiano por triángulos cuyos ángulos suman π (o 180°). Salvo permutaciones, el triple ( l , m , n ) es uno de los triples (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3). Los grupos de triángulos correspondientes son instancias de grupos de papel tapiz .