En matemáticas , la conjetura de von Neumann estableció que un grupo G no es susceptible de ser tratado si y solo si G contiene un subgrupo que es un grupo libre en dos generadores . La conjetura fue refutada en 1980.
En 1929, durante su trabajo sobre la paradoja de Banach-Tarski , John von Neumann definió el concepto de grupos susceptibles y demostró que ningún grupo susceptible contiene un subgrupo libre de rango 2. La sugerencia de que lo contrario podría sostenerse, es decir, que todo no -amenable group contiene un subgrupo libre en dos generadores, fue creado por varios autores diferentes en las décadas de 1950 y 1960. Aunque el nombre de von Neumann se adjunta popularmente a la conjetura, su primera aparición escrita parece deberse al Mahlon Marsh Day en 1957.
La alternativa de Tits es un teorema fundamental que, en particular, establece la conjetura dentro de la clase de grupos lineales .
El primer contraejemplo potencial históricamente es el grupo F de Thompson . Si bien su capacidad de respuesta es un problema ampliamente abierto, Alexander Ol'shanskii demostró que la conjetura general era falsa en 1980 ; Demostró que los grupos de monstruos de Tarski , construidos por él, que fácilmente se ve que no tienen subgrupos libres de rango 2, no son susceptibles. Dos años después, Sergei Adian demostró que ciertos grupos de Burnside también son contraejemplos . Ninguno de estos contraejemplos se presenta de manera finita , y durante algunos años se consideró posible que la conjetura fuera válida para grupos presentados de manera finita. Sin embargo, en 2003, Alexander Ol'shanskii y Mark Sapir exhibieron una colección de grupos finamente presentados que no satisfacen la conjetura.
En 2013, Nicolas Monod encontró un contraejemplo fácil para la conjetura. Dado por homeomorfismos proyectivos por partes de la línea, el grupo es notablemente sencillo de entender. Aunque no es susceptible, comparte muchas propiedades conocidas de los grupos susceptibles de forma directa. En 2013, Yash Lodha y Justin Tatch Moore aislaron un subgrupo no susceptible de presentación finita del grupo de Monod. Esto proporciona el primer contraejemplo sin torsión presentado finitamente, y admite una presentación con 3 generadores y 9 relaciones. Lodha más tarde demostró que este grupo satisface la propiedad, que es una propiedad de finitud más fuerte.
Referencias
- Adian, Sergei (1982), "Caminatas al azar en grupos periódicos libres", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Estera. (en ruso), 46 (6): 1139-1149, 1343, Zbl 0512.60012
- Day, Mahlon M. (1957), "Semigrupos aptos", Ill. J. Math. , 1 : 509–544, Zbl 0078.29402
- Ol'shanskii, Alexander (1980), "Sobre la cuestión de la existencia de una media invariante en un grupo", Uspekhi Mat. Nauk (en ruso), 35 (4): 199–200, Zbl 0452.20032
- Ol'shanskii, Alexander; Sapir, Mark (2003), "No susceptible de torsión por grupos cíclicos presentados finitamente", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 96 (1): 43–169, arXiv : math / 0208237 , doi : 10.1007 / s10240-002 -0006-7 , Zbl 1050.20019
- Monod, Nicolas (2013), "Groups of piecewise projective homeomorphisms", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 110 (12): 4524–4527, arXiv : 1209.5229 , Bibcode : 2013PNAS..110.4524M , doi : 10.1073 / pnas.1218426110 , Zbl 1305.57002
- Lodha, Yash; Moore, Justin Tatch (2016), "Un grupo no susceptible de homeomorfismos proyectivos por partes finitamente presentados", Grupos, geometría y dinámica , 10 (1): 177-200, arXiv : 1308.4250v3 , doi : 10.4171 / GGD / 347 , MR 3460335
- Lodha, Yash (2020), "Un tipo no susceptible grupo de homeomorfismos proyectivos por partes ", Journal of Topology , 13 (4): 1767–1838, doi : 10.1112 / topo.12172