En matemáticas , las propiedades de finitud de un grupo son una colección de propiedades que permiten el uso de varias herramientas algebraicas y topológicas , por ejemplo , la cohomología de grupo , para estudiar el grupo. Sobre todo es de interés para el estudio de grupos infinitos.
Los casos especiales de grupos con propiedades de finitud se generan finitamente y se presentan grupos finitamente .
Propiedades de finitud topológica
Dado un número entero n ≥ 1, un grupose dice que es de tipo F n si existe un complejo CW asférico cuyo grupo fundamental es isomorfo a(un espacio de clasificación para) y cuyo n- esqueleto es finito. Se dice que un grupo es de tipo F ∞ si es de tipo F n para cada n . Es de tipo F si existe un complejo CW asférico finito del cual es el grupo fundamental.
Para valores pequeños de n, estas condiciones tienen interpretaciones más clásicas:
- un grupo es de tipo F 1 si y solo si se genera finitamente (la rosa con pétalos indexados por una familia generadora finita es el esqueleto 1 de un espacio clasificador, el gráfico de Cayley del grupo para esta familia generadora es el 1- esqueleto de su funda universal);
- un grupo es de tipo F 2 si y solo si se presenta de manera finita (el complejo de presentación , es decir, la rosa con pétalos indexados por un grupo generador finito y 2 celdas correspondientes a cada relación, es el esqueleto 2 de un espacio de clasificación, cuya cubierta universal tiene el complejo Cayley como su esqueleto 2).
Se sabe que por cada n ≥ 1 hay grupos de tipo F n que no son de tipo F n +1 . Grupos finitos son de tipo F ∞ pero no de tipo F . Grupo de Thompson es un ejemplo de un grupo libre de torsión que es de tipo F ∞ pero no de tipo F . [1]
Una reformulación de la propiedad F n es que un grupo la tiene si y solo si actúa correctamente de manera discontinua, libre y cocompacta sobre un complejo CW cuyos grupos homotópicos desaparecer. Se puede formular otra propiedad de finitud reemplazando la homotopía por homología: se dice que un grupo es de tipo FH n si actúa como antes en un complejo CW cuyos n primeros grupos de homología desaparecen.
Propiedades de finitud algebraica
Dejar ser un grupo y su anillo de grupo . El grupose dice que es de tipo FP n si existe una resolución de lo trivial- módulo tal que los n primeros términos son proyectivos generados finitamente -módulos. [2] Los tipos FP ∞ y FP se definen de forma obvia.
La misma declaración con módulos proyectivos reemplazados por módulos libres define las clases FL n para n ≥ 1, FL ∞ y FL .
También es posible definir las clases FP n ( R ) y FL n ( R ) para cualquier anillo conmutativo R , reemplazando el anillo de grupo por en las definiciones anteriores.
Cualquiera de las condiciones F n o FH n implican FP n y FL n (sobre cualquier anillo conmutativo). Un grupo es de tipo FP 1 si y solo si se genera finitamente, [2] pero para cualquier n ≥ 2 existen grupos que son de tipo FP n pero no F n . [3]
Cohomología grupal
Si un grupo es de tipo FP n entonces sus grupos de cohomología se generan finitamente para . Si es de tipo FP entonces es de dimensión cohomológica finita. Por tanto, las propiedades de finitud juegan un papel importante en la teoría de la cohomología de grupos.
Ejemplos de
Grupos finitos
Un grupo finito actúa libremente sobre la esfera unitaria en , preservando una estructura de complejo CW con un número finito de células en cada dimensión. [4] Dado que esta esfera unitaria es contráctil, todo grupo finito es de tipo F ∞ .
Un grupo finito no trivial nunca es de tipo F porque tiene una dimensión cohomológica infinita. Esto también implica que un grupo con un no trivial subgrupo de torsión nunca es de tipo F .
Grupos nilpotentes
Si es un grupo nilpotente sin torsión , generado finitamente, entonces es de tipo F. [5]
Condiciones geométricas para propiedades de finitud
Los grupos curvados negativamente (grupos hiperbólicos o CAT (0) ) son siempre de tipo F ∞ . [6] [7] Un grupo de este tipo es de tipo F si y solo si está libre de torsión.
Como ejemplo, los grupos S-aritméticos cocompactos en grupos algebraicos sobre campos numéricos son de tipo F ∞ . La compactación de Borel-Serre muestra que este también es el caso de los grupos aritméticos no compactos.
Los grupos aritméticos sobre campos de función tienen propiedades de finitud muy diferentes: sies un grupo aritmético en un grupo algebraico simple de rango sobre un campo de función global (como ) entonces es de tipo F r pero no de tipo F r + 1 . [8]
Notas
- ^ Brown, Kenneth; Geoghegan, Ross (1984). "Un grupo FP ∞ sin torsión de dimensión infinita ". Inventiones Mathematicae . 77 (2): 367–381. doi : 10.1007 / BF01388451 . Señor 0752825 . S2CID 121877111 .
- ↑ a b Brown , 1982 , p. 197.
- ^ Bestvina, Mladen ; Brady, Noel (1997), "Teoría Morse y propiedades de finitud de grupos", Inventiones Mathematicae , 129 (3): 445–470, Bibcode : 1997InMat.129..445B , doi : 10.1007 / s002220050168 , S2CID 120422255
- ^ Brown , 1982 , p. 20.
- ^ Brown , 1982 , p. 213.
- ^ Bridson 1999 , p. 439.
- ^ Bridson 1999 , p. 468.
- ^ Bux, Kai-Uwe; Köhl, Ralf; Witzel, Stefan (2013). "Propiedades de finitud superior de grupos aritméticos reductivos en característica positiva: el teorema de rango". Annals of Mathematics . 177 : 311–366. arXiv : 1102.0428 . doi : 10.4007 / annals.2013.177.1.6 . S2CID 53991649 .
Referencias
- Bridson, Martin; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Springer-Verlag. ISBN 3-540-64324-9.
- Brown, Kenneth S. (1982). Cohomología de grupos . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90688-6.