Vorlesungen über Zahlentheorie (alemán para conferencias sobre teoría de números ) es el nombre de varios libros de texto diferentes de teoría de números . El más conocido fue escrito por Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Richard Dedekind , y publicado en 1863. Otros fueron escritos por Leopold Kronecker , Edmund Landau y Helmut Hasse . Todos cubren la teoría de números elemental, el teorema de Dirichlet, campos y formas cuadráticas y, a veces, temas más avanzados.
El libro de Dirichlet y Dedekind
Basado en el curso de teoría de números de Dirichlet en la Universidad de Göttingen , las Vorlesungen fueron editadas por Dedekind y publicadas después de la muerte de Lejeune Dirichlet. Dedekind agregó varios apéndices al Vorlesungen , en los que recopiló más resultados de Lejeune Dirichlet y también desarrolló sus propias ideas matemáticas originales.
Alcance
El Vorlesungen cubre temas de teoría de números elementales, teoría de números algebraica y teoría de números analítica , incluyendo aritmética modular , congruencias cuadráticas , reciprocidad cuadrática y formas cuadráticas binarias .
Contenido
El contenido de la traducción de 1999 del profesor John Stillwell de la Vorlesungen es el siguiente
- Capítulo 1. Sobre la divisibilidad de números
- Capítulo 2. Sobre la congruencia de números
- Capítulo 3. Sobre residuos cuadráticos
- Capítulo 4. Sobre formas cuadráticas
- Capítulo 5. Determinación del número de clase de formas cuadráticas binarias
- Suplemento I.Algunos teoremas de la teoría de la división circular de Gauss
- Suplemento II. Sobre el valor límite de una serie infinita
- Suplemento III. Un teorema geométrico
- Suplemento IV. Genera de formas cuadráticas
- Suplemento V.Residuos de potencia para módulos compuestos
- Suplemento VI. Primas en progresiones aritméticas
- Suplemento VII. Algunos teoremas de la teoría de la división de círculos
- Suplemento VIII. Sobre la ecuación de Pell
- Suplemento IX. Convergencia y continuidad de algunas series infinitas
Esta traducción no incluye los Suplementos X y XI de Dedekind en los que comienza a desarrollar la teoría de los ideales .
Los títulos alemanes de los suplementos X y XI son:
- Suplemento X: Über die Composition der binären quadratische Formen (Sobre la composición de formas cuadráticas binarias)
- Suplemento XI: Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (Sobre la teoría de los enteros algebraicos)
Los capítulos 1 a 4 cubren un terreno similar al de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss , y Dedekind agregó notas a pie de página que cruzan específicamente las secciones relevantes de las Disquisitiones . Estos capítulos pueden considerarse como un resumen del conocimiento existente, aunque Dirichlet simplifica la presentación de Gauss e introduce sus propias pruebas en algunos lugares.
El capítulo 5 contiene la derivación de Dirichlet de la fórmula del número de clase para campos cuadráticos reales e imaginarios . Aunque otros matemáticos habían conjeturado fórmulas similares, Dirichlet dio la primera demostración rigurosa.
Suplemento VI contiene una prueba de Dirichlet que una progresión aritmética de la forma de un + nd donde una y d son primos entre sí contiene un número infinito de números primos.
Importancia
La Vorlesungen puede verse como un punto de inflexión entre la teoría de números clásica de Fermat , Jacobi y Gauss , y la teoría de números moderna de Dedekind, Riemann y Hilbert . Dirichlet no reconoce explícitamente el concepto de grupo que es fundamental para el álgebra moderna , pero muchas de sus demostraciones muestran una comprensión implícita de la teoría de grupos.
El Vorlesungen contiene dos resultados clave en la teoría de números que fueron probados por primera vez por Dirichlet. La primera de ellas son las fórmulas de números de clase para formas cuadráticas binarias. La segunda es una prueba de que las progresiones aritméticas contienen un número infinito de números primos (conocido como teorema de Dirichlet ); esta prueba presenta la serie L de Dirichlet . Estos resultados son hitos importantes en el desarrollo de la teoría analítica de números.
El libro de Kronecker
El libro de Leopold Kronecker se publicó por primera vez en 1901 en 2 partes y Springer lo reimprimió en 1978. Cubre la teoría de números elemental y algebraica, incluido el teorema de Dirichlet.
El libro de Landau
El libro de Edmund Landau Vorlesungen über Zahlentheorie se publicó por primera vez como un conjunto de 3 volúmenes en 1927. La primera mitad del volumen 1 se publicó como Vorlesungen über Zahlentheorie. Aus der elementare Zahlentheorie en 1950, con una traducción al inglés en 1958 bajo el título Teoría elemental de números . En 1969, Chelsea volvió a publicar la segunda mitad del volumen 1 junto con los volúmenes 2 y 3 como un solo volumen.
El volumen 1 sobre teoría numérica elemental y aditiva incluye temas como el teorema de Dirichlet, el tamiz de Brun, las formas cuadráticas binarias, la conjetura de Goldbach, el problema de Waring y el trabajo de Hardy-Littlewood sobre la serie singular. El volumen 2 cubre temas de la teoría analítica de números, como estimaciones del error en el teorema de los números primos, y temas de la teoría de números geométricos, como la estimación de números de puntos reticulares. El volumen 3 cubre la teoría algebraica de números, incluida la teoría ideal, los campos numéricos cuadráticos y las aplicaciones del último teorema de Fermat. Muchos de los resultados descritos por Landau eran de vanguardia en ese momento, pero desde entonces han sido reemplazados por resultados más sólidos.
El libro de hasse
El libro de Helmut Hasse Vorlesungen über Zahlentheorie se publicó en 1950 y es diferente y más elemental que su libro Zahlentheorie . Cubre la teoría de números elemental, el teorema de Dirichlet y los campos cuadráticos.
Referencias
- PG Lejeune Dirichlet, R. Dedekind tr. John Stillwell: Conferencias sobre teoría de números , American Mathematical Society, 1999 ISBN 0-8218-2017-6 El Göttinger Digitalisierungszentrum tiene una copia escaneada del texto original de la segunda edición (en alemán) publicado en 1871 que contiene los suplementos I-X. El suplemento XI se puede encontrar en el volumen tres de las obras completas de Dedekind también en el Göttinger Digitalisierungszentrum . La cuarta edición de 1894, que contiene todos los suplementos, incluido el XI de Dedekind, está disponible en Internet Archive .
- Hasse, Helmut (1950), Vorlesungen über Zahlentheorie , Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, LIX , Berlín-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-88679-9, MR 0051844
- Kronecker, Leopold (1978) [1901], Vorlesungen über Zahlentheorie , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08277-8, MR 0529431
- Landau, Edmund (1958) [1927], Teoría elemental de números. , Nueva York, NY: Chelsea Publishing Co., MR 0092794
- Landau, Edmund (1969) [1927], Vorlesungen über Zahlentheorie. Erster Band, zweiter Teil; zweiter Band; Dritter Band. , Nueva York: Chelsea Publishing Co., MR 0250844