Carcaj (matemáticas)
En matemáticas , un carcaj es un gráfico dirigido donde se permiten bucles y flechas múltiples entre dos vértices , es decir, un multidigraph . Se utilizan comúnmente en la teoría de la representación : una representación V de un carcaj asigna un espacio vectorial V ( x ) a cada vértice x del carcaj y un mapa lineal V ( a ) a cada flecha a .
En la teoría de categorías , un carcaj puede entenderse como la estructura subyacente de una categoría , pero sin composición ni designación de morfismos de identidad. Es decir, hay un functor olvidadizo de Cat a Quiv . Su adjunto izquierdo es un functor libre que, a partir de un carcaj, hace la categoría libre correspondiente .
Un morfismo de carcaj se define de la siguiente manera. Si y son dos carcaj, entonces un morfismo de carcaj consta de dos funciones y tales que los siguientes diagramas conmutan :
La definición anterior se basa en la teoría de conjuntos ; la definición de teoría de categorías generaliza esto en un funtor del carcaj libre a la categoría de conjuntos .
La aljaba libre (también llamado el carcaj caminar , Kronecker aljaba , 2-Kronecker aljaba o categoría de Kronecker ) Q es una categoría con dos objetos, y cuatro morfismos: Los objetos son V y E . Los cuatro morfismos son s : E → V , t : E → V , y los morfismos de identidad id V : V → V e id E : E → E. Es decir, el carcaj libre es
En términos más generales, un carcaj en una categoría C es un funtor Γ: Q → C . La categoría Quiv ( C ) de carcaj en C es la categoría de functor donde: