En matemáticas , y más precisamente en análisis , las integrales de Wallis constituyen una familia de integrales introducidas por John Wallis .
Definición, propiedades básicasLas integrales de Wallis son los términos de la secuencia definido por
o equivalentemente (por la sustitución ),
Los primeros términos de esta secuencia son:
| | | | | | | | | ... | |
| | | | | | | | | ... | |
La secuencia está disminuyendo y tiene términos positivos. De hecho, para todos
- porque es una integral de una función continua no negativa que no es idénticamente cero;
- nuevamente porque la última integral es de una función continua no negativa.
Dado que la secuencia es decreciente y está delimitada por debajo de 0, converge a un límite no negativo. De hecho, el límite es cero (ver más abajo).
Relación de recurrenciaMediante la integración por partes se puede obtener una relación de recurrencia . Usando la identidad, tenemos para todos ,
Integrando la segunda integral por partes, con:
- , cuyo anti-derivado es
- , cuya derivada es
tenemos:
Sustituyendo este resultado en la ecuación (1) se obtiene
y por lo tanto
para todos
Esta es una relación de recurrencia que da en términos de . Esto, junto con los valores de y danos dos conjuntos de fórmulas para los términos en la secuencia , dependiendo de si es par o impar:
Otra relación para evaluar las integrales de WallisLas integrales de Wallis se pueden evaluar utilizando integrales de Euler :
- Integral de Euler del primer tipo : la función Beta :
- para Re ( x ), Re ( y )> 0
- Integral de Euler del segundo tipo : la función Gamma :
- para Re ( z )> 0 .
Si hacemos la siguiente sustitución dentro de la función Beta:
obtenemos:
entonces esto nos da la siguiente relación para evaluar las integrales de Wallis:
Entonces, por extraño , escritura , tenemos:
mientras que para incluso , escritura y sabiendo que , obtenemos :
Equivalencia- De la fórmula de recurrencia anterior , podemos deducir que
- (equivalencia de dos secuencias).
- De hecho, para todos :
- (ya que la secuencia es decreciente)
- (desde )
- (por ecuación ).
- Por el teorema del sándwich , llegamos a la conclusión de que , y por lo tanto .
- Mediante el examen , se obtiene la siguiente equivalencia:
- ( y consecuentemente ).
Prueba
Para todos , dejar .
Resulta que, debido a la ecuación . En otras palabras es una constante.
De ello se deduce que para todos , .
Ahora, desde y , tenemos, por las reglas del producto de equivalentes, .
Por lo tanto, , del cual se sigue el resultado deseado (teniendo en cuenta que ).
Deduciendo la fórmula de StirlingEvaluación de la integral gaussianaLa integral gaussiana se puede evaluar mediante el uso de integrales de Wallis.
Primero probamos las siguientes desigualdades:
De hecho, dejar , la primera desigualdad (en la que ) es equivalente a ; mientras que la segunda desigualdad se reduce a, que se convierte en . Estas 2 últimas desigualdades se derivan de la convexidad de la función exponencial (o de un análisis de la función).
Dejando y haciendo uso de las propiedades básicas de las integrales impropias (la convergencia de las integrales es obvia), obtenemos las desigualdades:
para usar con el teorema del sándwich (como).
Las primeras y últimas integrales se pueden evaluar fácilmente usando las integrales de Wallis. Para el primero, deja (t variando de 0 a ). Entonces, la integral se convierte en. Para la última integral, deje (t variando de a ). Entonces, se convierte en.
Como hemos mostrado antes, . Entonces, se sigue que.
Observación: Existen otros métodos para evaluar la integral gaussiana. Algunos de ellos son más directos .
NotaLas mismas propiedades conducen al producto Wallis , que expresa (ver ) en forma de un producto infinito .
enlaces externos- Pascal Sebah y Xavier Gourdon. Introducción a la función Gamma . En formatos PostScript y HTML .