El teorema de Walsh-Lebesgue es un resultado famoso del análisis armónico probado por el matemático estadounidense Joseph L. Walsh en 1929, utilizando resultados probados por Lebesgue en 1907. [1] [2] [3] El teorema establece lo siguiente:
Sea K un subconjunto compacto del plano euclidiano ℝ 2 tal el complemento relativo decon respecto a ℝ 2 está conectado . Entonces, cada función continua de valor real en( es decir, el límite de K ) se puede aproximar uniformemente enpor (de valor real) polinomios armónicos en las variables reales x y Y . [4]
Generalizaciones
El teorema de Walsh-Lebesgue se ha generalizado a superficies de Riemann [5] y a ℝ n .
Este teorema de Walsh-Lebesgue también ha servido como catalizador para capítulos enteros de la teoría de las álgebras de funciones , como la teoría de las álgebras de Dirichlet y las álgebras logmodulares. [6]
En 1974 Anthony G. O'Farrell dio una generalización del teorema de Walsh-Lebesgue mediante el teorema de Browder-Wermer de 1964 [7] con técnicas relacionadas. [8] [9] [10]
Referencias
- ^ Walsh, JL (1928). "Über die Entwicklung einer harmonischen Funktion nach harmonischen Polynomen" . J. Reine Angew. Matemáticas . 159 : 197-209.
- ^ Walsh, JL (1929). "La aproximación de funciones armónicas por polinomios armónicos y por funciones racionales armónicas" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 35 (2): 499–544. doi : 10.1090 / S0002-9947-1929-1501495-4 .
- ^ Lebesgue, H. (1907). "Sur le probléme de Dirichlet" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 24 (1): 371–402. doi : 10.1007 / BF03015070 . S2CID 120228956 .
- ^ Gamelin, Theodore W. (1984). "3.3 Teorema (teorema de Walsh-Lebesgue)" . Álgebras uniformes . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 36–37. ISBN 9780821840498.
- ^ Bagby, T .; Gauthier, PM (1992). "Aproximación uniforme por funciones armónicas globales" . Aproximaciones por soluciones de ecuaciones diferenciales parciales . Dordrecht: Springer. págs. 15-26 (pág. 20). ISBN 9789401124362.
- ^ Walsh, JL (2000). Rivlin, Theodore J .; Saff, Edward B. (eds.). Joseph L. Walsh. Artículos seleccionados . Saltador. págs. 249-250. ISBN 978-0-387-98782-8.
- ^ Browder, A .; Wermer, J. (agosto de 1964). "Un método para construir álgebras de Dirichlet" . Actas de la American Mathematical Society . 15 (4): 546–552. doi : 10.1090 / s0002-9939-1964-0165385-0 . JSTOR 2034745 .
- ^ O'Farrell, A. G (2012). "Un teorema de Walsh-Lebesgue generalizado" (PDF) . Actas de la Royal Society de Edimburgo, Sección A . 73 : 231-234. doi : 10.1017 / S0308210500016395 .
- ^ O'Farrell, AG (1981). "Cinco generalizaciones del teorema de aproximación de Weierstrass" (PDF) . Actas de la Real Academia de Irlanda, Sección A . 81 (1): 65–69.
- ^ O'Farrell, AG (1980). "Teoremas de tipo Walsh-Lebesgue" (PDF) . En DA Brannan; J. Clunie (eds.). Aspectos del análisis complejo contemporáneo . Prensa académica. págs. 461–467.