El problema de Waring

Mathematical problem in number theory

En teoría de números , el problema de Waring pregunta si cada número natural k tiene asociado un entero positivo s tal que cada número natural sea la suma de como máximo s números naturales elevados a la potencia k . Por ejemplo, cada número natural es la suma de como máximo 4 cuadrados, 9 cubos o 19 cuartas potencias. El problema de Waring fue propuesto en 1770 por Edward Waring , de quien lleva su nombre. Su respuesta afirmativa, conocida como el teorema de Hilbert-Waring , fue proporcionada por Hilbert en 1909. ^[1] El problema de Waring tiene su propia clasificación de materias matemáticas., 11P05, "Problema y variantes de Waring".

Relación con el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Mucho antes de que Waring planteara su problema, Diofanto había preguntado si cada entero positivo podía representarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos mayores o iguales a cero. Esta cuestión se conoció más tarde como la conjetura de Bachet, después de la traducción de Diofanto en 1621 por Claude Gaspard Bachet de Méziriac , y fue resuelta por Joseph-Louis Lagrange en su teorema de los cuatro cuadrados.en 1770, el mismo año que Waring hizo su conjetura. Waring buscó generalizar este problema tratando de representar todos los enteros positivos como la suma de cubos, enteros a la cuarta potencia, etc., para mostrar que cualquier entero positivo puede representarse como la suma de otros enteros elevados a un exponente específico, y que siempre hubo un número máximo de enteros elevado a un cierto exponente requerido para representar todos los enteros positivos de esta manera.

El número g ( k )

Para cada , denotemos el número mínimo de potencias de los naturales necesarios para representar todos los enteros positivos. Cada entero positivo es la suma de una primera potencia, en sí mismo, entonces . Algunos cálculos simples muestran que 7 requiere 4 cuadrados, 23 requiere 9 cubos, ^[2] y 79 requiere 19 cuartas potencias; estos ejemplos muestran que , , y . Waring conjeturó que estos límites inferiores eran de hecho valores exactos (es decir, para el número g ( k ), probar sólo números <3 ^k es suficiente).${\displaystyle k}$${\displaystyle g(k)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$${\displaystyle g(1)=1}$${\displaystyle g(2)\geq 4}$${\displaystyle g(3)\geq 9}$${\displaystyle g(4)\geq 19}$

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange de 1770 establece que todo número natural es la suma de cuatro cuadrados como máximo. Dado que tres cuadrados no son suficientes, este teorema establece . El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange fue conjeturado en la edición de 1621 de Bachet de la Arithmetica de Diofanto ; Fermat afirmó tener una prueba, pero no la publicó. ^[3]${\displaystyle g(2)=4}$

A lo largo de los años, se establecieron varios límites, utilizando técnicas de prueba cada vez más sofisticadas y complejas. Por ejemplo, Liouville mostró que es como máximo 53. Hardy y Littlewood demostraron que todos los números suficientemente grandes son la suma de como máximo 19 cuartas potencias.${\displaystyle g(4)}$

Eso fue establecido de 1909 a 1912 por Wieferich ^[4] y AJ Kempner , ^[5] en 1986 por R. Balasubramanian , F. Dress y J.-M. Deshouillers , ^{[6] [7]} en 1964 por Chen Jingrun , y en 1940 por Pillai . ^[8]${\displaystyle g(3)=9}$ ${\displaystyle g(4)=19}$ ${\displaystyle g(5)=37}$${\displaystyle g(6)=73}$

Deje y denotan, respectivamente, la integral y la parte fraccionaria de un número real positivo . Dado el número , solo y se puede usar para representar ; la representación más económica requiere términos de y términos de . De ello se deduce que es al menos tan grande como . Esto fue observado por J. A. Euler, el hijo de Leonhard Euler , alrededor de 1772. ^[9] Trabajos posteriores de Dickson , Pillai , Rubugunday , Niven ^[10] y muchos otros han demostrado que${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c=2^{k}\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1<3^{k}}$${\displaystyle 2^{k}}$${\displaystyle 1^{k}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1}$${\displaystyle 2^{k}}$${\displaystyle 2^{k}-1}$${\displaystyle 1^{k}}$${\displaystyle g(k)}$${\displaystyle 2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$

${\displaystyle g(k)={\begin{cases}2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor \leq 2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ and }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor =2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -3&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ and }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}.\end{cases}}}$

No se conoce el valor de para cuál . Mahler ^[11] demostró que sólo puede haber un número finito de tales , y Kubina y Wunderlich ^[12] han demostrado que cualquiera de ellos debe satisfacer . Por tanto, se conjetura que esto nunca sucede, es decir, para cada entero positivo .${\displaystyle k}$${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k>471\,600\,000}$${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$${\displaystyle k}$

Los primeros valores de son:${\displaystyle g(k)}$

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, ... (secuencia A002804 en la OEIS ) .

El número G ( k )

Del trabajo de Hardy y Littlewood , ^{[ cita requerida ]} la cantidad relacionada G ( k ) se estudió con g ( k ). G ( k ) se define como el número entero menos positivo s de modo que todo entero suficientemente grande (es decir, todo entero mayor que alguna constante) se puede representar como una suma de como máximo s enteros positivos a la potencia de k . Claramente, G(1) = 1. Dado que los cuadrados son congruentes con 0, 1 o 4 (mod 8), ningún entero congruente con 7 (mod 8) se puede representar como una suma de tres cuadrados, lo que implica que G (2) ≥ 4 . Dado que G ( k ) ≤ g ( k ) para todo k , esto muestra que G (2) = 4 . Davenport mostró ^{[ cita requerida ]} que G (4) = 16 en 1939, al demostrar que cualquier número suficientemente grande congruente de 1 a 14 mod 16 podría escribirse como una suma de 14 cuartos poderes (Vaughan en 1985 ^{[ cita requerida ]} y 1989^{[ cita requerida ]} redujo el 14 sucesivamente a 13 y 12). El valor exacto de G ( k ) se desconoce para cualquier otro k , pero existen límites.

Límites inferiores para G ( k )

Límites
1 = G (1) = 1
4 = G (2) = 4
4 ≤ G (3) ≤ 7
16 = G (4) = 16
6 ≤ G (5) ≤ 17
9 ≤ G (6) ≤ 24
8 ≤ G (7) ≤ 33
32 ≤ G (8) ≤ 42
13 ≤ G (9) ≤ 50
12 ≤ G (10) ≤ 59
12 ≤ G (11) ≤ 67
16 ≤ G (12) ≤ 76
14 ≤ G (13) ≤ 84
15 ≤ G (14) ≤ 92
16 ≤ G (15) ≤ 100
64 ≤ G (16) ≤ 109
18 ≤ G (17) ≤ 117
27 ≤ G (18) ≤ 125
20 ≤ G (19) ≤ 134
25 ≤ G (20) ≤ 142

El número G ( k ) es mayor o igual que

2 r +2	si k = 2 r con r ≥ 2, o k = 3 × 2 r ;
p r +1	si p es un primo mayor que 2 y k = p r ( p - 1);
( p r +1 - 1) / 2	si p es un primo mayor que 2 y k = p r (p - 1) / 2;
k + 1	para todos los enteros k mayores que 1.

En ausencia de restricciones de congruencia, un argumento de densidad sugiere que G ( k ) debería ser igual a k + 1 .

Límites superiores para G ( k )

G (3) es al menos 4 (ya que los cubos son congruentes con 0, 1 o −1 mod 9); para números inferiores a 1,3 × 10 ⁹ ,1 290 740 es el último en requerir 6 cubos, y el número de números entre N y 2 N que requieren 5 cubos disminuye al aumentar N a una velocidad suficiente para que la gente crea que G (3) = 4 ; ^[13] el número más grande que ahora se sabe que no es una suma de 4 cubos es7 373 170 279 850 , ^[14] y los autores dan argumentos razonables allí de que esto puede ser el más grande posible. El límite superior G (3) ≤ 7 se debe a Linnik en 1943. ^[15] (Todos los enteros no negativos requieren como máximo 9 cubos, y se conjetura que los enteros más grandes que requieren 9, 8, 7, 6 y 5 cubos son 239, 454, 8042,1 290 740 y7 373 170 279 850 , respectivamente, y sólo 23 y 239 requiere 9 cubos, y sólo hay 15 números que requieren 8 cubitos: 15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364 , 420, 428, 454 (secuencia A018889 en la OEIS ))

13 792 es el número más grande que requiere 17 cuartos poderes (Deshouillers, Hennecart y Landreau demostraron en 2000 ^[16] que cada número entre13 793 y 10 ²⁴⁵ requerían como máximo 16, y Kawada, Wooley y Deshouillers extendieron ^{[ cita requerida ]} el resultado de Davenport de 1939 para mostrar que cada número por encima de 10 ²²⁰ no requería más de 16). Los números de la forma 31 · 16 ⁿ siempre requieren 16 cuartos poderes.

617 597 724 es el último número menor que 1.3 × 10 ⁹ que requiere 10 quintas potencias, y51 033 617 es el último número menor que 1,3 × 10 ⁹ que requiere 11.

Los límites superiores a la derecha con k = 5, 6, ..., 20 se deben a Vaughan y Wooley . ^[17]

Usando su método mejorado de Hardy-Littlewood , I. M. Vinogradov publicó numerosos refinamientos que llevaron a

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)}$

en 1947 ^{[ cita requerida ]} y, en última instancia,

${\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)}$

para una constante C no especificada y k suficientemente grande en 1959 ^{[ cita requerida ]} .

Aplicando su forma p -ádica del método de Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov para estimar sumas trigonométricas, en las que la suma se toma sobre números con divisores primos pequeños, Anatolii Alexeevitch Karatsuba obtuvo ^[18] (1985) una nueva estimación de Hardy función (para ):${\displaystyle G(k)}$${\displaystyle k\geq 400}$

${\displaystyle G(k)<2k\log k+2k\log \log k+12k.}$

Vaughan obtuvo más mejoras en 1989 ^{[ cita requerida ]} .

Wooley luego estableció que para alguna constante C , ^[19]

${\displaystyle G(k)\leq k\log k+k\log \log k+Ck.}$

Vaughan y Wooley han escrito un artículo de encuesta completo. ^[17]

Ver también

• Teorema del número poligonal de Fermat , según el cual todo entero positivo es una suma de, como máximo, n de los n números gonales
• Problema de Waring-Goldbach , el problema de representar números como sumas de potencias de primos
• Problema de suma de subconjuntos , un problema algorítmico que se puede usar para encontrar la representación más corta de un número dado como una suma de potencias
• Sumas de tres cubos , analiza qué números son la suma de tres cubos no necesariamente positivos

Notas

1. Hilbert, David (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Problema de Waringsches)" . Mathematische Annalen (en alemán). 67 (3): 281–300. doi : 10.1007 / bf01450405 . Señor  1511530 .
2. Recuerde que nos restringimos a los números naturales. Con números enteros generales, no es difícil escribir 23 como la suma de 4 cubos, por ejemploo.${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}}$${\displaystyle 29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}}$
3. Dickson, Leonard Eugene (1920). "Capítulo VIII". Historia de la Teoría de los Números . Volumen II: Análisis diofántico. Instituto Carnegie de Washington .
4. Wieferich, Arthur (1909). "Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt" . Mathematische Annalen (en alemán). 66 (1): 95–101. doi : 10.1007 / BF01450913 .
5. Kempner, Aubrey (1912). "Problema de Bemerkungen zum Waringschen" . Mathematische Annalen (en alemán). 72 (3): 387–399. doi : 10.1007 / BF01456723 .
6. Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Vestido, François (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution" [El problema de Waring para las biquadrates. I. Bosquejo de la solución]. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (en francés). 303 (4): 85–88. Señor 0853592 . 
7. Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Vestido, François (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique" [El problema de Waring para las biquadrates. II. Resultados auxiliares del teorema asintótico]. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (en francés). 303 (5): 161-163. Señor 0854724 . 
8. Pillai, SS (1940). "Sobre el problema de Waring g (6) = 73". Proc. Indian Acad. Sci . 12 : 30–40. doi : 10.1007 / BF03170721 . Señor 0002993 . 
9. L. Euler , "Opera posthuma" (1), 203-204 (1862).
10. Niven, Ivan M. (1944). "Un caso sin resolver del problema de Waring". Revista Estadounidense de Matemáticas . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. 66 (1): 137-143. doi : 10.2307 / 2371901 . JSTOR 2371901 . Señor 0009386 .  
11. Mahler, Kurt (1957). "Sobre las partes fraccionarias de las potencias de un número racional II". Mathematika . 4 (2): 122-124. doi : 10.1112 / s0025579300001170 . Señor 0093509 . 
12. Kubina, Jeffrey M .; Wunderlich, Marvin C. (1990). "Ampliando la conjetura de Waring a 471,600,000". Matemáticas. Comp. 55 (192): 815–820. Código Bibliográfico : 1990MaCom..55..815K . doi : 10.2307 / 2008448 . JSTOR 2008448 . Señor 1035936 .   
13. Nathanson (1996 , p. 71).
14. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Apéndice de (2000). "7373170279850" . Matemáticas de la Computación . 69 (229): 421–439. doi : 10.1090 / S0025-5718-99-01116-3 .
15. UV Linnik. "Sobre la representación de grandes números como sumas de siete cubos". Estera. Sb. NS 12 (54), 218-224 (1943).
16. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard (2000). "Problema de Waring para dieciséis bicuadrados - resultados numéricos" . Journal de théorie des nombres de Bordeaux . 12 (2): 411–422. doi : 10.5802 / jtnb.287 .
17. Vaughan, RC; Wooley, Trevor (2002). "Problema de Waring: una encuesta". En Bennet, Michael A .; Berndt, Bruce C .; Boston, Nigel; Diamond, Harold G .; Hildebrand, Adolf J .; Philipp, Walter (eds.). Teoría de números para el milenio . III . Natick, MA: AK Peters. págs. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9. Señor  1956283 .
18. Karatsuba, AA (1985). "Sobre la función G ( n ) en el problema de Waring". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matemáticas . 27 (49: 5): 935–947. Código bibliográfico : 1986IzMat..27..239K . doi : 10.1070 / IM1986v027n02ABEH001176 .
19. Vaughan, RC (1997). El método Hardy-Littlewood . Cambridge Tracts in Mathematics. 125 (2ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-57347-5. Zbl  0868.11046 .

Referencias

• GI Arkhipov, VN Chubarikov, AA Karatsuba , "Sumas trigonométricas en teoría y análisis de números". Berlín – Nueva York: Walter de Gruyter, (2004).
• GI Arkhipov, AA Karatsuba, VN Chubarikov, "Teoría de múltiples sumas trigonométricas". Moscú: Nauka, (1987).
• Yu. V. Linnik , "Una solución elemental del problema de Waring por el método de Schnirelman". Estera. Sb., N. Ser. 12 (54), 225-230 (1943).
• RC Vaughan , "Un nuevo método iterativo en el problema de Waring". Acta Mathematica (162), 1-71 (1989).
• IM Vinogradov , "El método de las sumas trigonométricas en la teoría de los números". Trav. Inst. Matemáticas. Stekloff (23), 109 págs. (1947).
• MI Vinogradov, "En un límite superior para G ( n )". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Estera. (23), 637–642 (1959).
• IM Vinogradov, AA Karatsuba, "El método de las sumas trigonométricas en la teoría de números", Proc. Steklov Inst. Matemáticas. 168, 3-30 (1986); traducción de Trudy Mat. Inst. Steklova, 168, 4-30 (1984).
• Ellison, WJ (1971). "Problema de Waring" . American Mathematical Monthly . 78 (1): 10–36. doi : 10.2307 / 2317482 . JSTOR  2317482 .Survey, contiene la fórmula precisa para G ( k ), una versión simplificada de la prueba de Hilbert y una gran cantidad de referencias.
• Khinchin, A. Ya. (1998). Tres perlas de la teoría de números . Mineola, Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-40026-6.Tiene una prueba elemental de la existencia de G ( k ) usando la densidad de Schnirelmann .
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de los números aditivos: las bases clásicas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 164 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94656-X. Zbl  0859.11002 .Tiene pruebas del teorema de Lagrange, el teorema del número poligonal , la prueba de Hilbert de la conjetura de Waring y la prueba de Hardy-Littlewood de la fórmula asintótica para el número de formas de representar N como la suma de s k- ésimas potencias.
• Hans Rademacher y Otto Toeplitz , El disfrute de las matemáticas (1933) ( ISBN 0-691-02351-4 ). Tiene una prueba del teorema de Lagrange, accesible para estudiantes de secundaria. 

enlaces externos

Wikisource tiene texto original relacionado con este artículo: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Problema de Waringsches)

• "Problema de Waring" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]