Mezclar (matemáticas)
En matemáticas , mezclar es un concepto abstracto que se origina en la física : el intento de describir el proceso termodinámico irreversible de mezclar en el mundo cotidiano: mezclar pintura, mezclar bebidas, mezclar industrialmente , etc.
El concepto aparece en la teoría ergódica : el estudio de los procesos estocásticos y los sistemas dinámicos que conservan la medida . Existen varias definiciones diferentes para la mezcla, incluida la mezcla fuerte , la mezcla débil y la mezcla topológica , y la última no requiere que se defina una medida . Algunas de las diferentes definiciones de mezcla se pueden organizar en un orden jerárquico; por lo tanto, una mezcla fuerte implica una mezcla débil. Además, la mezcla débil (y por lo tanto también la mezcla fuerte) implica ergodicidad : es decir, todo sistema que se mezcla débilmente también es ergódico (por lo que se dice que la mezcla es una noción "más fuerte" que la ergodicidad).
La definición matemática de mezcla tiene como objetivo capturar el proceso cotidiano ordinario de mezcla, como mezclar pinturas, bebidas, ingredientes para cocinar, mezclar en procesos industriales , fumar en una habitación llena de humo, etc. Para proporcionar rigor matemático, dichas descripciones comienzan con la definición de un sistema dinámico que conserva la medida , escrito como .
Se entiende por conjunto el espacio total a llenar: el vaso mezclador, la sala llena de humo, etc. Se entiende por medida la definición del volumen natural del espacio y de sus subespacios. La colección de subespacios se denota por , y el tamaño de cualquier subconjunto dado es ; el tamaño es su volumen. Ingenuamente, se podría imaginar ser el conjunto potencia de ; esto no funciona del todo, ya que no todos los subconjuntos de un espacio tienen un volumen (famosa, la paradoja de Banach-Tarski ). Así, convencionalmente, consta de los subconjuntos medibles, los subconjuntos que sí tienen un volumen. Siempre se toma como un conjunto de Borel . —la colección de subconjuntos que se pueden construir tomando intersecciones , uniones y complementos de conjuntos ; estos siempre pueden tomarse como medibles.
La evolución temporal del sistema se describe mediante un mapa . Dado algún subconjunto , su mapa en general será una versión deformada de : está aplastado o estirado, doblado o cortado en pedazos. Los ejemplos matemáticos incluyen el mapa del panadero y el mapa de herradura , ambos inspirados en la elaboración del pan . El conjunto debe tener el mismo volumen que ; el aplastamiento/estiramiento no altera el volumen del espacio, solo su distribución. Tal sistema es de "preservación de la medida" (preservación del área, preservación del volumen).
