En matemáticas , un sistema dinámico que preserva la medida es un objeto de estudio en la formulación abstracta de sistemas dinámicos , y la teoría ergódica en particular. Los sistemas de preservación de medidas obedecen al teorema de recurrencia de Poincaré y son un caso especial de sistemas conservadores . Proporcionan la base matemática formal para una amplia gama de sistemas físicos y, en particular, muchos sistemas de la mecánica clásica (en particular, la mayoría de los sistemas no disipativos ), así como los sistemas en equilibrio termodinámico .
Definición
Un sistema dinámico que preserva la medida se define como un espacio de probabilidad y una transformación que preserva la medida en él. Más detalladamente, es un sistema
con la siguiente estructura:
- es un conjunto,
- es una σ-álgebra sobre,
- es una medida de probabilidad , de modo que, y ,
- es una transformación medible que conserva la medida, es decir, .
Discusión
Cabe preguntarse por qué la medida que preserva la transformación se define en términos de la inversa en lugar de la transformación hacia adelante . Esto se puede entender de una manera bastante sencilla. Considere un mapeode conjuntos de potencia :
Considere ahora el caso especial de los mapas. que conservan intersecciones, uniones y complementos (por lo que es un mapa de conjuntos de Borel ) y también envía a (porque queremos que sea conservador ). Cada uno de estos mapas conservadores que conservan Borel puede especificarse mediante algún mapa sobreyectivo. escribiendo . Por supuesto, también se podría definir, pero esto no es suficiente para especificar todos esos mapas posibles . Es decir, mapas conservadores que conservan Borel no puede, en general, escribirse en la forma ¡Obviamente! uno podría decir; considere, por ejemplo, el mapa del intervalo unitario dada por este es el mapa de Bernoulli .
Tenga en cuenta que tiene la forma de un empuje hacia adelante , mientras quese llama genéricamente un retroceso . Casi todas las propiedades y comportamientos de los sistemas dinámicos se definen en términos de empuje hacia adelante. Por ejemplo, el operador de transferencia se define en términos del empuje hacia adelante del mapa de transformación.; la medidaahora puede entenderse como una medida invariante ; es solo el autovector de Frobenius-Perron del operador de transferencia (recuerde, el autovector FP es el autovector más grande de una matriz; en este caso, es el autovector el que tiene el autovalor uno: la medida invariante).
Hay dos problemas de clasificación de interés. Uno, que se analiza a continuación, corrige y pregunta sobre las clases de isomorfismo de un mapa de transformación . El otro, discutido en el operador de transferencia , corrige y y pregunta sobre mapas que son como una medida. Como medidas, en el sentido de que conservan las propiedades de Borel, pero ya no son invariantes; en general son disipativos y, por lo tanto, dan una idea de los sistemas disipativos y la ruta hacia el equilibrio.
En términos de física, el sistema dinámico que preserva la medida a menudo describe un sistema físico que está en equilibrio, por ejemplo, equilibrio termodinámico . Uno podría preguntarse: ¿cómo llegó a ser así? A menudo, la respuesta es mediante agitación, mezcla , turbulencia , termalización u otros procesos similares. Si un mapa de transformación describe esta agitación, mezcla, etc., entonces el sistema es todo lo que queda, después de que todos los modos transitorios se hayan desvanecido. Los modos transitorios son precisamente aquellos autovectores del operador de transferencia que tienen autovalor menor que uno; la medida invariantees el único modo que no decae. La tasa de decaimiento de los modos transitorios viene dada por (el logaritmo de) sus valores propios; el valor propio uno corresponde a una vida media infinita.
Ejemplo informal
El conjunto microcanónico de la física proporciona un ejemplo informal. Considere, por ejemplo, un fluido, gas o plasma en una caja de ancho, largo y alto que consiste en átomos. Un solo átomo en esa caja podría estar en cualquier lugar, teniendo una velocidad arbitraria; estaría representado por un solo punto en Una colección dada de los átomos serían entonces un solo punto en algún lugar del espacioEl "conjunto" es la colección de todos esos puntos, es decir, la colección de todas esas cajas posibles (de las cuales hay un número infinito incontable). Este conjunto de todas las cajas posibles es el espacio sobre.
En el caso de un gas ideal , la medidaviene dada por la distribución de Maxwell-Boltzmann . Es una medida de producto , ya que si es la probabilidad de átomo tener posición y velocidad , entonces para átomos, la probabilidad es el producto de de estos. Se entiende que esta medida se aplica al conjunto. Entonces, por ejemplo, una de las posibles cajas del conjunto tiene todos los átomos en un lado de la caja. Se puede calcular la probabilidad de esto en la medida de Maxwell-Boltzmann. Será enormemente diminuto, de orden De todas las casillas posibles en el conjunto, esta es una fracción ridículamente pequeña.
La única razón por la que este es un "ejemplo informal" es porque escribir la función de transición es difícil e, incluso si está escrito, es difícil realizar cálculos prácticos con él. Las dificultades se agravan si la interacción no es una interacción del tipo bola de billar-gas ideal, sino una interacción de van der Waals , o alguna otra interacción adecuada para un líquido o un plasma; en tales casos, la medida invariante ya no es la distribución de Maxwell-Boltzmann. El arte de la física es encontrar aproximaciones razonables.
Este sistema exhibe una idea clave de la clasificación de los sistemas dinámicos que preservan la medida: dos conjuntos, que tienen diferentes temperaturas, no son equivalentes. La entropía de un conjunto canónico dado depende de su temperatura; como sistemas físicos, es "obvio" que cuando las temperaturas difieren, también lo hacen los sistemas. Esto es válido en general: los sistemas con diferente entropía no son isomorfos.
Ejemplos de
A diferencia del ejemplo informal anterior, los ejemplos a continuación están lo suficientemente bien definidos y manejables como para que se puedan realizar cálculos formales explícitos.
- μ podría ser la medida del ángulo normalizado dθ / 2π en el círculo unitario , y T una rotación. Ver teorema de equidistribución ;
- el esquema de Bernoulli ;
- la transformación de intercambio de intervalo ;
- con la definición de una medida apropiada, un subdesplazamiento de tipo finito ;
- el flujo base de un sistema dinámico aleatorio ;
- el flujo de un campo vectorial hamiltoniano en el haz tangente de una variedad lisa conectada cerrada preserva la medida (usando la medida inducida en los conjuntos de Borel por la forma de volumen simpléctica ) por el teorema de Liouville (hamiltoniano) ; [1]
- para ciertos mapas y procesos de Markov , el teorema de Krylov-Bogolyubov establece la existencia de una medida adecuada para formar un sistema dinámico que preserva la medida.
Generalización a grupos y monoides
La definición de un sistema dinámico que preserva la medida se puede generalizar al caso en el que T no es una transformación única que se itera para dar la dinámica del sistema, sino que es un monoide (o incluso un grupo , en cuyo caso tenemos la acción de un grupo sobre el espacio de probabilidad dado) de transformaciones T s : X → X parametrizado por s ∈ Z (o R , o N ∪ {0}, o [0, + ∞)), donde cada transformación T s satisface los mismos requisitos que T anterior. [1] En particular, las transformaciones obedecen a las reglas:
- , la función de identidad en X ;
- , siempre que todos los términos estén bien definidos ;
- , siempre que todos los términos estén bien definidos.
Los más simples, ataques de casos anteriores en este marco mediante la definición de T s = T s para s ∈ N .
Homomorfismos
Se puede definir el concepto de homomorfismo e isomorfismo .
Considere dos sistemas dinámicos y . Entonces un mapeo
es un homomorfismo de sistemas dinámicos si satisface las siguientes tres propiedades:
- El mapa es medible .
- Para cada , uno tiene .
- Para μ {\ Displaystyle \ mu} -casi todos , uno tiene .
El sistema entonces se llama un factor de.
El mapa es un isomorfismo de sistemas dinámicos si, además, existe otro mapeo
que también es un homomorfismo, que satisface
- por -casi todos , uno tiene ;
- por -casi todos , uno tiene .
Por tanto, se puede formar una categoría de sistemas dinámicos y sus homomorfismos.
Puntos genéricos
Un punto x ∈ X se denomina punto genérico si la órbita del punto se distribuye uniformemente según la medida.
Nombres simbólicos y generadores
Considere un sistema dinámico , y sea Q = { Q 1 , ..., Q k } una partición de X en k piezas disjuntas por pares medibles. Dado un punto x ∈ X , claramente x pertenece solo a uno de los Q i . De manera similar, el punto iterado T n x también puede pertenecer a solo una de las partes. El nombre simbólico de x , con respecto a la partición Q , es la secuencia de enteros { a n } tal que
El conjunto de nombres simbólicos con respecto a una partición se denomina dinámica simbólica del sistema dinámico. Una partición Q se llama generador o partición generadora si μ-casi todos los puntos x tienen un nombre simbólico único.
Operaciones en particiones
Dada una partición Q = { Q 1 , ..., Q k } y un sistema dinámico, defina el T -pullback de Q como
Además, dadas dos particiones Q = { Q 1 , ..., Q k } y R = { R 1 , ..., R m }, defina su refinamiento como
Con estas dos construcciones, el refinamiento de un retroceso iterado se define como
que juega un papel crucial en la construcción de la entropía de la teoría de la medida de un sistema dinámico.
Entropía de la teoría de la medida
La entropía de una particiónse define como [2] [3]
La entropía de la teoría de la medida de un sistema dinámico con respecto a una partición Q = { Q 1 , ..., Q k } se define entonces como
Finalmente, la métrica de Kolmogorov-Sinai o la entropía teórica de la medida de un sistema dinámico Se define como
donde el supremo se toma sobre todas las particiones mensurables finitas. Un teorema de Yakov Sinai en 1959 muestra que el supremo se obtiene en realidad en particiones que son generadores. Así, por ejemplo, la entropía del proceso de Bernoulli es log 2, ya que casi todos los números reales tienen una expansión binaria única . Es decir, se puede dividir el intervalo unitario en los intervalos [0, 1/2) y [1/2, 1]. Todo número real x es menor que 1/2 o no; e igualmente lo es la parte fraccionaria de 2 n x .
Si el espacio X es compacto y está dotado de una topología, o es un espacio métrico, entonces también se puede definir la entropía topológica .
Teoremas de clasificación y anticlasificación
Una de las principales actividades en el estudio de los sistemas de conservación de medidas es su clasificación según sus propiedades. Es decir, deja ser un espacio de medida, y dejar Ser el conjunto de todos los sistemas de conservación de medidas. . Un isomorfismo de dos transformaciones define una relación de equivalencia El objetivo es entonces describir la relación . Se han obtenido varios teoremas de clasificación; pero, curiosamente, también se han encontrado varios teoremas contra la clasificación. Los teoremas de anti-clasificación establecen que hay más de un número contable de clases de isomorfismos, y que una cantidad contable de información no es suficiente para clasificar los isomorfismos. [4] [5]
El primer teorema de anti-clasificación, debido a Hjorth, establece que si está dotado de la topología débil , entonces el conjuntono es un conjunto de Borel . [6] Hay una variedad de otros resultados anti-clasificación. Por ejemplo, reemplazando el isomorfismo con la equivalencia de Kakutani , se puede demostrar que hay incontables transformaciones de preservación de medidas ergódicas equivalentes a Kakutani de cada tipo de entropía. [7]
Estos contrastan con los teoremas de clasificación. Éstas incluyen:
- Se han clasificado las transformaciones ergódicas que conservan la medida con un espectro de puntos puro. [8]
- Los cambios de Bernoulli se clasifican por su entropía métrica. [9] [10] [11] Consulte la teoría de Ornstein para obtener más información.
Ver también
- Teorema de Krylov-Bogolyubov sobre la existencia de medidas invariantes
- Teorema de recurrencia de Poincaré
Referencias
- ↑ a b Walters, Peter (2000). Introducción a la teoría ergódica . Saltador. ISBN 0-387-95152-0.
- ^ Sinaí, Ya. G. (1959). "Sobre la noción de entropía de un sistema dinámico". Doklady Akad. Nauk SSSR . 124 : 768–771.
- ^ Sinaí, Ya. G. (2007). "Entropía métrica del sistema dinámico" (PDF) . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Foreman, M .; Weiss, B. (2019). "De odómetros a sistemas circulares: un teorema de estructura global". Revista de dinámica moderna . 15 : 345–423. arXiv : 1703.07093 . doi : 10.3934 / jmd.2019024 .
- ^ Foreman, M .; Weiss, B. (2017). "Medida que conserva los Diffeomorfismos del Torus son inclasificables". arXiv : 1705.04414 . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ Hjorth, G. (2001). "Sobre invariantes para medir la preservación de las transformaciones" (PDF) . Fondo. Matemáticas . 169 (1): 51–84.
- ^ Ornstein, D .; Rudolph, D .; Weiss, B. (1982). Equivalencia de medida conservando transformaciones . Mem. American Mathematical Soc. 37 . ISBN 0-8218-2262-4.
- ^ Halmos, P .; von Neumann, J. (1942). "Métodos de operador en mecánica clásica. II". Annals of Mathematics . (2). 43 : 332-350. doi : 10.2307 / 1968872 .
- ^ Sinaí, Ya. (1962). "Un isomorfismo débil de transformaciones con medida invariante". Doklady Akad. Nauk SSSR . 147 : 797–800.
- ^ Ornstein, D. (1970). "Los cambios de Bernoulli con la misma entropía son isomorfos". Avances en Matemáticas . 4 (3): 337–352. doi : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90029-0 .
- ^ Katok, A .; Hasselblatt, B. (1995). "Introducción a la teoría moderna de sistemas dinámicos". Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones . 54 . Prensa de la Universidad de Cambridge.
Otras lecturas
- Michael S. Keane, "Teoría ergódica y subdesplazamientos de tipo finito", (1991), que aparece como Capítulo 2 en Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos , Tim Bedford, Michael Keane y Caroline Series, Eds. Prensa de la Universidad de Oxford, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Proporciona una introducción expositiva, con ejercicios y referencias extensas).
- Lai-Sang Young , "Entropy in Dynamical Systems" ( pdf ; ps ), que aparece como Capítulo 16 en Entropy , Andreas Greven, Gerhard Keller y Gerald Warnecke, eds. Prensa de la Universidad de Princeton, Princeton, Nueva Jersey (2003). ISBN 0-691-11338-6
- T. Schürmann e I. Hoffmann, La entropía de billares extraños dentro de n-simplex. J. Phys. A 28 (17), página 5033, 1995. PDF-Document (da un ejemplo más complicado de sistema dinámico de preservación de medidas).