Principio de buen orden
En matemáticas , el principio de ordenamiento correcto establece que todo conjunto no vacío de enteros positivos contiene un elemento mínimo . [1] En otras palabras, el conjunto de enteros positivos está bien ordenado por su orden "natural" o "magnitud" en el que precede si y solo si es una o la suma de un entero positivo (otros ordenamientos incluyen el ordenamiento ; y ).
La frase "principio del buen ordenamiento" se considera a veces sinónimo del " teorema del buen ordenamiento ". En otras ocasiones se entiende la proposición de que el conjunto de enteros contiene un subconjunto bien ordenado , llamado números naturales , en el que cada subconjunto no vacío contiene un elemento mínimo.
Dependiendo del marco en el que se introduzcan los números naturales, esta propiedad (de segundo orden) del conjunto de números naturales es un axioma o un teorema demostrable. Por ejemplo:
En el segundo sentido, esta frase se usa cuando se confía en esa proposición con el propósito de justificar pruebas que toman la siguiente forma: para probar que todo número natural pertenece a un conjunto específico , se supone lo contrario, lo que implica que el conjunto de contraejemplos no está vacío y, por lo tanto, contiene un contraejemplo más pequeño. Luego demuestre que para cualquier contraejemplo hay un contraejemplo aún más pequeño que produce una contradicción. Este modo de argumentación es el contrapositivo de la prueba por inducción completa . Se le conoce alegremente como el método " criminal mínimo " y es similar en su naturaleza al método de " descenso infinito " de Fermat .
Garrett Birkhoff y Saunders Mac Lane escribieron en A Survey of Modern Algebra que esta propiedad, como el axioma del límite superior mínimo para los números reales, no es algebraica; es decir, no se puede deducir de las propiedades algebraicas de los números enteros (que forman un dominio integral ordenado ).