En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de anillos , una extensión de Ore , que lleva el nombre de Øystein Ore , es un tipo especial de extensión de anillo cuyas propiedades se comprenden relativamente bien. Los elementos de una extensión de Ore se denominan polinomios de Ore .
Las extensiones de mineral aparecen en varios contextos naturales, incluidos anillos polinomiales diferenciales y sesgados , álgebras de grupo de grupos policíclicos , álgebras envolventes universales de álgebras de Lie solubles y anillos de coordenadas de grupos cuánticos .
Definición
Suponga que R es un anillo (no necesariamente conmutativo) ,es un homomorfismo de anillo , yes una σ -derivación de R , lo que significa que es un homomorfismo de grupos abelianos que satisfacen
- .
Entonces la extensión de Ore , también llamado anillo polinomial sesgado , es el anillo no conmutativo obtenido al dar el anillo de polinomios una nueva multiplicación, sujeta a la identidad
- .
Si δ = 0 (es decir, es el mapa cero) entonces la extensión de mineral se denota R [ x ; σ ]. Si σ = 1 (es decir, el mapa de identidad), entonces la extensión de Ore se denota R [ x , δ ] y se denomina anillo polinomial diferencial .
Ejemplos de
Las álgebras de Weyl son extensiones de Ore, con R cualquier anillo polinomial conmutativo , σ el endomorfismo del anillo de identidad y δ el derivado polinomial. Las álgebras de minerales son una clase de extensiones de minerales iteradas bajo restricciones adecuadas que permiten desarrollar una extensión no conmutativa de la teoría de las bases de Gröbner .
Propiedades
- Una extensión de Ore de un dominio es un dominio.
- Una extensión de mineral de un campo sesgado es un dominio ideal principal no conmutativo .
- Si σ es un automorfismo y R es un anillo noetheriano izquierdo , entonces la extensión de mineral R [ λ ; σ , δ ] también se deja noetheriano.
Elementos
Un elemento f de un anillo mineral R se llama
Otras lecturas
- Goodearl, KR; Warfield, RB, Jr. (2004), Introducción a los anillos noetherianos no conmutativos, segunda edición , Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres, 61 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-54537-4, Señor 2080008
- McConnell, JC; Robson, JC (2001), anillos noetherianos no conmutativos , estudios de posgrado en matemáticas , 30 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2169-5, Señor 1811901
- Azeddine Ouarit (1992) Extensions de ore d'anneaux noetheriens á ip, Comm. Álgebra, 20 No 6,1819-1837. https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
- Azeddine Ouarit (1994) Un comentario sobre la propiedad de Jacobson de las extensiones PI Ore. (Une remarque sur la propriété de Jacobson des extensions de Ore a IP) (francés) Zbl 0819.16024. Arco. Matemáticas. 63, N ° 2, 136-139 (1994). https://zbmath.org/?q=an:00687054
- Rowen, Louis H. (1988), teoría del anillo, vol. I, II , Matemáticas puras y aplicadas, 127, 128, Boston, MA: Academic Press , ISBN 0-12-599841-4, MR 0940245
Referencias
- ^ Jacobson, Nathan (1996). Álgebras de división de dimensiones finitas sobre campos . Saltador.
- ^ Cohn, Paul M. (1995). Campos sesgados: teoría de los anillos de división general . Prensa de la Universidad de Cambridge .